© A série sumk=1^infty 2 k+13 k^2-1
( ) diverge pelo Teste da Divergência

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre a série sumk=1^infty 2 k+13 k^2-1. A matéria envolvida aqui é o estudo de séries numéricas, mais especificamente o Teste da Divergência. Para resolver, vamos verificar se essa série diverge usando esse teste.

Passo 2

Primeiro, o Teste da Divergência nos ajuda a determinar se uma série não converge. Ele diz que se o limite do termo geral da série, quando tende ao infinito, não for zero, então a série diverge. Ou seja, se , a série não soma para um valor finito.

Passo 3

Vamos calcular o limite do termo geral da série:
limk to infty 2k + 13k^2 - 1
Ao observarmos os termos de maior grau no numerador e no denominador, temos limk to infty 2kk^2 + 1k^23k^2k^2 - 1k^2 = limk to infty 2k + 1k^23 - 1k^2 no numerador e 0 + 03 - 0 = 03 = 0 no denominador. Podemos simplificar dividindo todos os termos por :
À medida que tende ao infinito, e tendem a zero. Assim, o limite fica:

Resposta

Como o limite do termo geral é zero ( ), o Teste da Divergência é inconclusivo. Portanto, não podemos afirmar que a série diverge apenas por esse teste.

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