Use o teste da razão para convergência absoluta (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
sumk=1^infty(-1)^k+1 k^kk!

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumk=1^infty (-1)^k+1 k^kk!
A matéria envolvida aqui são séries infinitas e, mais especificamente, o Teste da Razão para verificar se a série converge (chega a um valor determinado) ou diverge (não chega a nenhum valor). Para resolver, vamos precisar aplicar esse teste, que analisa a razão entre termos consecutivos da série.

Passo 2

Como a série tem termos alternados pelo (-1)^k+1, para aplicar o Teste da Razão para Convergência Absoluta, vamos primeiro considerar os valores absolutos dos termos da série. Isso significa ignorar o sinal negativo e trabalhar com:
ak = k^kk!

Passo 3

Agora, vamos usar o Teste da Razão, que envolve calcular o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série. A fórmula do teste é:
L = limk to infty | ak+1ak |
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não dá uma resposta definitiva.

Passo 4

Vamos calcular a razão ak+1ak:
ak+1ak = (k+1)^k+1(k+1)!k^kk! = (k+1)^k+1(k+1)! times k!k^k = (k+1)^kk^k = (1 + 1k)^k
Aqui, simplificamos os fatores e chegamos a uma expressão mais fácil de trabalhar.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando k tende ao infinito:
L = limk to infty (1 + 1k)^k = e
Sabemos que limk to infty (1 + 1k)^k = e approx 2,718

Passo 6

Como o limite L = e > 1, segundo o Teste da Razão, isso indica que a série:
sumk=1^infty k^kk!
diverge.

Resposta

A série diverge.

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