© Se a série de termos positivos converge, o que você pode afirmar sobre a série ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está nos pedindo. Temos uma série infinita de termos positivos que converge, ou seja, soma finita. A questão quer saber o que podemos afirmar sobre a série alternada . Vamos usar conceitos de séries e convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, sabemos que se a série de termos positivos converge, isso significa que os termos estão ficando cada vez menores e tendem a zero conforme aumenta. Matemáticamente, isso é representado por:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a série alternada . Uma série alternada é aquela onde os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa. Para analisarmos a convergência dessa série, usamos o Teste da Série Alternada.

Passo 4

O Teste da Série Alternada diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero, então a série alternada converge. Já sabemos que tende a zero e, como a série converge, os termos também são decrescentes.

Passo 5

Além disso, como a série de termos positivos converge, isso implica que a série alternada não apenas converge, mas converge absolutamente. Convergência absoluta significa que a série , que é igual a , também converge.

Resposta

Portanto, se a série de termos positivos converge, então a série alternada também converge absolutamente.

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Calcule os limites:
1
Seja
(a) Você acha que ou ?
(b) Some uma série geométrica para encontrar o valor de .
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a)
Calcule os limites: