© Se a série de termos positivos
converge, o que você pode afirmar sobre a série
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está nos pedindo. Temos uma série infinita de termos positivos
que converge, ou seja, soma finita. A questão quer saber o que podemos afirmar sobre a série alternada
. Vamos usar conceitos de séries e convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, sabemos que se a série de termos positivos
converge, isso significa que os termos
estão ficando cada vez menores e tendem a zero conforme
aumenta. Matemáticamente, isso é representado por:
Passo 3
Agora, vamos olhar para a série alternada
. Uma série alternada é aquela onde os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa. Para analisarmos a convergência dessa série, usamos o Teste da Série Alternada.
Passo 4
O Teste da Série Alternada diz que se os termos
são positivos, decrescentes e tendem a zero, então a série alternada
converge. Já sabemos que
tende a zero e, como a série
converge, os termos também são decrescentes.
Passo 5
Além disso, como a série de termos positivos
converge, isso implica que a série alternada
não apenas converge, mas converge absolutamente. Convergência absoluta significa que a série
, que é igual a
, também converge.
Resposta
Portanto, se a série de termos positivos
converge, então a série alternada
também converge absolutamente.
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Calcule os limites:
1
Seja
(a) Você acha que ou
?
(b) Some uma série geométrica para encontrar o valor de .
Seja
(a) Você acha que
(b) Some uma série geométrica para encontrar o valor de
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a)
(a)
Calcule os limites: