1
Seja
(a) Você acha que ou ?
(b) Some uma série geométrica para encontrar o valor de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos . A questão está dividida em duas partes: primeiro, você tem que decidir se esse número é menor que 1 ou igual a 1. Depois, tem que somar uma série geométrica para encontrar o valor de . Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa . Esse número tem 9s que continuam para sempre. A dúvida é se isso é menor que 1 ou igual a 1. Na matemática, quando você tem uma sequência que se aproxima cada vez mais de um número, dizemos que ela converge para esse número. Neste caso, se aproxima muito de 1. Na verdade, ele é igual a 1, porque não há um número real que está entre e 1.

Passo 3

Agora, vamos somar a série geométrica para encontrar o valor de . A série que representa é uma série geométrica infinita onde cada termo é 9/10, 9/100, 9/1000, e assim por diante. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
onde é o primeiro termo e é a razão da série. Aqui, o primeiro termo e a razão .

Passo 4

Aplicando a fórmula:

Resposta

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Considere a função definida por .
a) Calcule o gradiente de no ponto .
b) Determine a derivada direcional de no ponto na direção de .
Seja a função , calcule a imagem dos pontos abaixo;
c)
Calcule os limites:
© Se a série de termos positivos converge, o que você pode afirmar sobre a série ?