Calcule os limites: lim x 1 raizx^2-3 x+3-raizx^2+3 x-3x^2-3 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente em Limites e Funções. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e eliminar possíveis indeterminações.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz1^2-3 cdot 1 +3 - raiz1^2+3 cdot 1 -31^2-3 cdot 1 +2 = raiz1 - 3 + 3 - raiz1 + 3 - 31 - 3 + 2 = raiz1 - raiz10 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Apareceu uma indeterminação , então precisamos manipular a expressão para resolver.

Passo 3

Vamos racionalizar o numerador, ou seja, multiplicar e dividir pela conjugada do numerador. A conjugada de raizx^2-3 x+3-raizx^2+3 x-3x^2-3 x+2 cdot raizx^2-3 x+3 + raizx^2+3 x-3raizx^2-3 x+3 + raizx^2+3 x-3 é (x^2-3x+3) - (x^2+3x-3)(x^2-3x+2)(raizx^2-3 x+3 + raizx^2+3 x-3) = -6x +6(x^2-3x+2)(raizx^2-3 x+3 + raizx^2+3 x-3) . Fazendo isso:
No numerador, usamos a identidade :

Passo 4

Agora, vamos simplificar o numerador e o denominador. No numerador, fatoramos -6(x - 1) :
(x -1)(x -2)
No denominador, fatoramos -6(x -1)(x -1)(x -2)(raizx^2-3 x+3 + raizx^2+3 x-3) :
-6(x -2)(raizx^2-3 x+3 + raizx^2+3 x-3)
Substituindo de volta na expressão:
Podemos cancelar no numerador e denominador:

Passo 5

Agora, podemos substituir -6(1 -2)(raiz1^2-3 cdot 1 +3 + raiz1^2+3 cdot 1 -3) = -6(-1)(raiz1 + raiz1) = -6-2 = 3 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 3.

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