Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a) sumn=1^infty (-1)^n-1raiz[3]n^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar algumas ferramentas da matéria de séries infinitas, como o teste da série alternada e o teste da série .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente olha para a série com os termos positivos, ou seja:
sumn=1^infty | (-1)^n-1raiz[3]n^2 | = sumn=1^infty 1n^2/3
Aqui, a gente tem uma série , onde o termo geral é . Sabemos que uma série converge se e diverge se .
No nosso caso, , que é menor que 1. Portanto, a série diverge.

Passo 3

Já que a série dos valores absolutos divergiu, vamos verificar se a série original é convergente de forma condicional usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero conforme aumenta, então a série alternada converge.
Vamos conferir:
  1. Positivos: para todo .
  2. Decrescentes: Conforme aumenta, diminui.
  3. Tendência a zero: .
Como todas as condições do Teste da Série Alternada foram atendidas, a série converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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