Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar algumas ferramentas da matéria de séries infinitas, como o teste da série alternada e o teste da série .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente olha para a série com os termos positivos, ou seja:
Aqui, a gente tem uma série , onde o termo geral é . Sabemos que uma série converge se e diverge se .
No nosso caso, , que é menor que 1. Portanto, a série diverge.
Passo 3
Já que a série dos valores absolutos divergiu, vamos verificar se a série original é convergente de forma condicional usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero conforme aumenta, então a série alternada converge.
Vamos conferir:
Positivos: para todo .
Decrescentes: Conforme aumenta, diminui.
Tendência a zero: .
Como todas as condições do Teste da Série Alternada foram atendidas, a série converge.