Calcule os limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites, que é uma parte fundamental do cálculo. Vamos precisar entender como simplificar expressões que dão uma forma indeterminada, como , aplicando técnicas de álgebra para encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na expressão para ver o que acontece:
Isso nos dá uma indeterminação do tipo , que nos diz que precisamos de outra abordagem para calcular o limite.

Passo 3

Quando temos essa indeterminação, uma das técnicas que podemos usar é multiplicar o numerador e o denominador por algo que ajude a simplificar a expressão. No caso, vamos multiplicar pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os numeradores e denominadores:
No numerador, usamos a diferença de quadrados:
Então, temos:

Passo 5

Observe que pode ser fatorado como:
Substituindo na expressão, ficamos com:
Perceba que , então podemos simplificar:

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

1
Seja
(a) Você acha que ou ?
(b) Some uma série geométrica para encontrar o valor de .
Considere a função definida por .
a) Calcule o gradiente de no ponto .
b) Determine a derivada direcional de no ponto na direção de .
© Se a série de termos positivos converge, o que você pode afirmar sobre a série ?
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a)