Calcule os limites: lim x 3 2-raizx+1x^2-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites, que é uma parte fundamental do cálculo. Vamos precisar entender como simplificar expressões que dão uma forma indeterminada, como , aplicando técnicas de álgebra para encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 2 - raiz3 + 13^2 - 9 = 2 - 29 - 9 = 00 na expressão para ver o que acontece:
Isso nos dá uma indeterminação do tipo , que nos diz que precisamos de outra abordagem para calcular o limite.

Passo 3

Quando temos essa indeterminação, uma das técnicas que podemos usar é multiplicar o numerador e o denominador por algo que ajude a simplificar a expressão. No caso, vamos multiplicar pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz:
2 - raizx+1x^2 - 9 times 2 + raizx+12 + raizx+1

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os numeradores e denominadores:
(2 - raizx+1)(2 + raizx+1)(x^2 - 9)(2 + raizx+1)
No numerador, usamos a diferença de quadrados:
(2)^2 - (raizx+1)^2 = 4 - (x + 1) = 3 - x
Então, temos:
3 - x(x^2 - 9)(2 + raizx+1)

Passo 5

Observe que x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) pode ser fatorado como:
3 - x(x - 3)(x + 3)(2 + raizx+1)
Substituindo na expressão, ficamos com:
-(x - 3)(x - 3)(x + 3)(2 + raizx+1) = -1(x + 3)(2 + raizx+1)
Perceba que , então podemos simplificar:

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo -1(3 + 3)(2 + raiz3 + 1) = -16 times (2 + 2) = -16 times 4 = -124 :

Resposta

O limite é .

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