© Supondo que a densidade média da Terra seja quatro vezes maior que a de Júpiter e que o raio de Júpiter seja onze vezes maior que o da Terra, qual a razão ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos diz que a densidade média da Terra é quatro vezes maior que a de Júpiter e que o raio de Júpiter é onze vezes maior que o da Terra. Nosso objetivo aqui é encontrar a razão . Para isso, vamos usar conceitos de densidade, massa e raio dos planetas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade ( ) de um planeta é dada por:
onde é a massa e é o volume. O volume de uma esfera (que aproximadamente é a forma dos planetas) é:
onde é o raio.

Passo 3

Sabemos que a densidade da Terra é quatro vezes a de Júpiter:
Também, o raio de Júpiter é onze vezes o da Terra:

Passo 4

Vamos expressar as massas de Terra e Júpiter usando as densidades e os volumes:

Passo 5

Simplificando a massa de Júpiter:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a razão . Se representa a velocidade de escape, ela é dada por:
onde é a constante gravitacional, é a massa e é o raio.

Passo 7

Calculando a razão das velocidades de escape:

Passo 8

Substituindo e das etapas anteriores:

Passo 9

Calculando a divisão dentro da raiz:
Então:

Resposta

A razão é igual a 5,5.

Exercícios relacionados

(a) Usando apenas análise dimensional, mostre que a velocidade de escape na superfície de um planeta é dada por
onde é uma constante adimensional, e são a massa e o raio do planeta, respectivamente, e é a constante gravitacional universal de Newton (a velocidade de escape é a velocidade necessária para refutar a máxima
Uma partícula de 10 kg está sujeita a uma força e se move em linha reta. , a posição é 5 m e a velocidade é . Encontrar e .
Considere um pinguim de massa m encontra-se a uma distância de um ponto de observação. 0 pinguim despenca ( sob a ação da gravidade. Calcule o momento angular em função do tempo e o torque sobre o pinguim em relação ao ponto de observação 0 . A resposta deve estar em função de D, m, g out.
Em uma demonstração de patinação no gelo, Pinóquio gira ao redor do eixo do corpo (mantido na vertical), com os braços abertos com velocidade . 0 momento de inércia inicial é e final . Calcule sua velocidade angular final.