© Supondo que a densidade média da Terra seja quatro vezes maior que a de Júpiter e que o raio de Júpiter seja onze vezes maior que o da Terra, qual a razão vJ / vE ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos diz que a densidade média da Terra é quatro vezes maior que a de Júpiter e que o raio de Júpiter é onze vezes maior que o da Terra. Nosso objetivo aqui é encontrar a razão . Para isso, vamos usar conceitos de densidade, massa e raio dos planetas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade ( rho = MV ) de um planeta é dada por:
V = 43 pi R^3
onde é a massa e é o volume. O volume de uma esfera (que aproximadamente é a forma dos planetas) é:
onde é o raio.

Passo 3

Sabemos que a densidade da Terra é quatro vezes a de Júpiter:
rhoE = 4 rhoJ
Também, o raio de Júpiter é onze vezes o da Terra:
RJ = 11 RE

Passo 4

Vamos expressar as massas de Terra e Júpiter usando as densidades e os volumes:
ME = rhoE VE = 4 rhoJ ( 43 pi RE^3 )
MJ = rhoJ VJ = rhoJ ( 43 pi (11 RE)^3 )

Passo 5

Simplificando a massa de Júpiter:
MJ = rhoJ ( 43 pi times 11^3 RE^3 ) = rhoJ ( 43 pi times 1331 RE^3 ) = 1331 rhoJ ( 43 pi RE^3 )

Passo 6

Agora, vamos encontrar a razão v = raiz2GMR . Se representa a velocidade de escape, ela é dada por:
onde é a constante gravitacional, é a massa e é o raio.

Passo 7

Calculando a razão das velocidades de escape:
vJvE = raiz 2G MJRJ2G MERE = raiz MJ REME RJ

Passo 8

Substituindo vJvE = raiz 1331 rhoJ ( 43 pi RE^3 ) times RE4 rhoJ ( 43 pi RE^3 ) times 11 RE = raiz 1331 times RE4 times 11 RE = raiz 133144 e das etapas anteriores:

Passo 9

Calculando a divisão dentro da raiz:
133144 = 30.25
Então:
vJvE = raiz30.25 = 5.5

Resposta

A razão é igual a 5,5.

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