(a) Usando apenas análise dimensional, mostre que a velocidade de escape na superfície de um planeta é dada por
onde
é uma constante adimensional,
e
são a massa e o raio do planeta, respectivamente, e
é a constante gravitacional universal de Newton (a velocidade de escape é a velocidade necessária para refutar a máxima
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar, usando apenas a análise dimensional, que a velocidade de escape na superfície de um planeta é dada por
. Isso envolve a matéria de Análise Dimensional, que é uma técnica para verificar relações entre grandezas físicas usando suas unidades. Para resolver isso, vamos precisar das dimensões das grandezas envolvidas: velocidade (
), constante gravitacional (
), massa do planeta (
) e raio do planeta (
).
Passo 2
Primeiro, vamos listar as dimensões de cada uma das grandezas envolvidas:
- Velocidade (
): A velocidade tem dimensão de comprimento por tempo, ou seja, . - Constante gravitacional (
): A dimensão de pode ser derivada da lei da gravitação de Newton: . Sabendo que força ( ) tem dimensão , podemos isolar : - Massa (
): A massa tem dimensão . - Raio (
): O raio é uma medida de comprimento, então .
Passo 3
Agora, assumimos que a velocidade de escape
depende apenas de
,
e
. Podemos escrever isso como:
onde
é uma constante adimensional que queremos determinar, e
,
,
são expoentes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos igualar as dimensões de ambos os lados da equação. A dimensão de
é
, e a dimensão do lado direito é:
Então, temos:
Passo 5
Agora, igualamos os expoentes de cada dimensão:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Vamos resolver essas equações:
- Da terceira equação:
=> . - Da segunda equação:
=> . - Da primeira equação:
=> => .
Passo 6
Agora que temos os valores de
,
e
, substituímos de volta na expressão inicial:
Resposta
Portanto, pela análise dimensional, a velocidade de escape é dada por
onde
é uma constante adimensional.