(a) Usando apenas análise dimensional, mostre que a velocidade de escape na superfície de um planeta é dada por
v=C raizG MR
onde C é uma constante adimensional, M e R são a massa e o raio do planeta, respectivamente, e G é a constante gravitacional universal de Newton (a velocidade de escape é a velocidade necessária para refutar a máxima

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar, usando apenas a análise dimensional, que a velocidade de escape na superfície de um planeta é dada por . Isso envolve a matéria de Análise Dimensional, que é uma técnica para verificar relações entre grandezas físicas usando suas unidades. Para resolver isso, vamos precisar das dimensões das grandezas envolvidas: velocidade ( ), constante gravitacional ( ), massa do planeta ( ) e raio do planeta ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos listar as dimensões de cada uma das grandezas envolvidas:
  • Velocidade ( [G] = [F] [R]^2[M]^2 = MLT^-2 cdot L^2M^2 = L^3 M^-1 T^-2 ): A velocidade tem dimensão de comprimento por tempo, ou seja, .
  • Constante gravitacional ( ): A dimensão de pode ser derivada da lei da gravitação de Newton: . Sabendo que força ( ) tem dimensão , podemos isolar :
  • Massa ( ): A massa tem dimensão .
  • Raio ( ): O raio é uma medida de comprimento, então .

Passo 3

Agora, assumimos que a velocidade de escape v = C cdot G^a cdot M^b cdot R^c depende apenas de , e . Podemos escrever isso como:
onde é uma constante adimensional que queremos determinar, e , , são expoentes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos igualar as dimensões de ambos os lados da equação. A dimensão de [G]^a [M]^b [R]^c = (L^3 M^-1 T^-2)^a cdot M^b cdot L^c = L^3a + c M^-a + b T^-2a é LT^-1 = L^3a + c M^-a + b T^-2a , e a dimensão do lado direito é:
Então, temos:

Passo 5

Agora, igualamos os expoentes de cada dimensão:
  1. Para 1 = 3a + c :
0 = -a + b
  1. Para -1 = -2a :
  1. Para :
Vamos resolver essas equações:
  • Da terceira equação: => .
  • Da segunda equação: => .
  • Da primeira equação: => => .

Passo 6

Agora que temos os valores de v = C cdot G^12 cdot M^12 cdot R^-12 = C raizG MR , e , substituímos de volta na expressão inicial:

Resposta

Portanto, pela análise dimensional, a velocidade de escape é dada por
v = C raizG MR
onde é uma constante adimensional.

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