Uma partícula de 10 kg está sujeita a uma força F=(120 t+40) N e se move em linha reta. Em t=0, a posição é 5 m e a velocidade é 6 m / s. Encontrar x(t) e v(t).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma partícula de 10 kg que está sendo puxada por uma força que varia com o tempo, dada por N. A partícula está se movendo em linha reta, e no instante inicial ( ), sua posição é de 5 metros e sua velocidade é de 6 metros por segundo. Nosso objetivo é encontrar as funções que descrevem a posição e a velocidade dessa partícula ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de força, massa, aceleração, e como relacionar esses com velocidade e posição usando cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que nos diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
F(t) = m cdot a(t)
Aqui, a(t) = F(t)m = 120t + 4010 = 12t + 4 , m/s^2 N e kg. Vamos resolver para :

Passo 3

Agora que temos a aceleração em função do tempo, podemos encontrar a velocidade v(t) = integral a(t) , dt = integral (12t + 4) , dt = 6t^2 + 4t + C integrando a aceleração em relação ao tempo. A integral da aceleração nos dá a velocidade, e precisamos usar a condição inicial para determinar a constante de integração:
6 = 6(0)^2 + 4(0) + C Rightarrow C = 6
Sabemos que em v(t) = 6t^2 + 4t + 6 , m/s , m/s. Vamos substituir para encontrar :
Então, a função da velocidade é:

Passo 4

Agora, para encontrar a posição x(t) = integral v(t) , dt = integral (6t^2 + 4t + 6) , dt = 2t^3 + 2t^2 + 6t + D , vamos integrar a velocidade em relação ao tempo. A integral da velocidade nos dá a posição, e novamente precisamos usar a condição inicial para encontrar a constante de integração:
5 = 2(0)^3 + 2(0)^2 + 6(0) + D Rightarrow D = 5
Sabemos que em x(t) = 2t^3 + 2t^2 + 6t + 5 , m , m. Vamos substituir para encontrar :
Então, a função da posição é:

Resposta

As funções que descrevem a velocidade e a posição da partícula são:
v(t) = 6t^2 + 4t + 6 , m/s
x(t) = 2t^3 + 2t^2 + 6t + 5 , m

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