c) Qual o tempo necessário para que a massa de uma amostra desse elemento se reduza a da massa inicial?

Passo 1

Então, a gente tem um problema onde precisamos descobrir quanto tempo leva para que a massa de uma amostra de um elemento se reduza para da massa inicial. Isso envolve conceitos de decaimento radioativo e leis de radiação, onde usamos equações exponenciais para modelar a redução da massa ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula que descreve o decaimento radioativo:
Aqui, é a quantidade de massa restante no tempo , é a massa inicial, e é a constante de decaimento.

Passo 3

No nosso caso, queremos que a massa restante seja da massa inicial. Então, podemos escrever:

Passo 4

Para resolver para , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:

Passo 5

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Portanto, o tempo necessário para que a massa se reduza para da inicial é dado por:

Resposta

O tempo necessário é .

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a) Enuncie o teorema de existência e unicidade de solução de problemas de valor inicial de equações de primeira ordem lineares.
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