c) Qual o tempo necessário para que a massa de uma amostra desse elemento se reduza a
da massa inicial?
Passo 1
Então, a gente tem um problema onde precisamos descobrir quanto tempo leva para que a massa de uma amostra de um elemento se reduza para
da massa inicial. Isso envolve conceitos de decaimento radioativo e leis de radiação, onde usamos equações exponenciais para modelar a redução da massa ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula que descreve o decaimento radioativo:
Aqui,
é a quantidade de massa restante no tempo
,
é a massa inicial, e
é a constante de decaimento.
Passo 3
No nosso caso, queremos que a massa restante seja
da massa inicial. Então, podemos escrever:
Passo 4
Para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Passo 5
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Portanto, o tempo necessário para que a massa se reduza para
da inicial é dado por:
Resposta
O tempo necessário é
.
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Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
Resolva a integral de linha
, onde
é a parte da elipse de equação
que está no primeiro quadrante, percorrida no sentido horário.
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ao ano (isso significa que a taxa anual com que a massa da amostra diminui é proporcional em cada instante à massa da amostra, sendo a constante de proporcionalidade igual a 0,063
.