Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de reparametrização pelo comprimento de arco! A gente vai trabalhar com cálculo de vetores e entender como transformar a parametrização da curva usando o comprimento que percorremos ao longo dela. Para isso, vamos precisar calcular a velocidade da curva, integrar para achar o comprimento de arco e depois substituir na parametrização original.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da curva . A derivada nos dá a velocidade da curva em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude da velocidade, que é a norma do vetor derivada . Isso nos dá a rapidez com que a curva está sendo percorrida.
Simplificando:

Passo 4

O próximo passo é encontrar a função do comprimento de arco . Sabemos que:
Agora, resolvemos para em função de :

Passo 5

Finalmente, vamos substituir em termos de na parametrização original para obter :

Resposta

A parametrização pelo comprimento de arco é:

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Resolva a integral de linha , onde é a parte da elipse de equação que está no primeiro quadrante, percorrida no sentido horário.
Determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não. Justifique sua resposta. , em que e são como no item anterior.
c) Qual o tempo necessário para que a massa de uma amostra desse elemento se reduza a da massa inicial?
a) Enuncie o teorema de existência e unicidade de solução de problemas de valor inicial de equações de primeira ordem lineares.