Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: r(t) = (cos(2t), sen(2t), 2t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de reparametrização pelo comprimento de arco! A gente vai trabalhar com cálculo de vetores e entender como transformar a parametrização da curva usando o comprimento que percorremos ao longo dela. Para isso, vamos precisar calcular a velocidade da curva, integrar para achar o comprimento de arco e depois substituir na parametrização original.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da curva . A derivada nos dá a velocidade da curva em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude da velocidade, que é a norma do vetor derivada . Isso nos dá a rapidez com que a curva está sendo percorrida.
Simplificando:

Passo 4

O próximo passo é encontrar a função do comprimento de arco s(t). Sabemos que:
Agora, resolvemos para t em função de s:

Passo 5

Finalmente, vamos substituir t em termos de s na parametrização original vec(r)(t) para obter :

Resposta

A parametrização pelo comprimento de arco é:

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