Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de reparametrização pelo comprimento de arco! A gente vai trabalhar com cálculo de vetores e entender como transformar a parametrização da curva usando o comprimento que percorremos ao longo dela. Para isso, vamos precisar calcular a velocidade da curva, integrar para achar o comprimento de arco e depois substituir na parametrização original.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da curva
. A derivada
nos dá a velocidade da curva em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude da velocidade, que é a norma do vetor derivada
. Isso nos dá a rapidez com que a curva está sendo percorrida.
Simplificando:
Passo 4
O próximo passo é encontrar a função do comprimento de arco
. Sabemos que:
Agora, resolvemos para
em função de
:
Passo 5
Finalmente, vamos substituir
em termos de
na parametrização original
para obter
:
Resposta
A parametrização pelo comprimento de arco é: