Resolva a integral de linha integralC(2 x y+y^3, x^2+3 x y^2) d r r, onde C é a parte da elipse de equação x^24+y^29=1 que está no primeiro quadrante, percorrida no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha , onde é a parte da elipse que está no primeiro quadrante, percorrida no sentido horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial partial Ppartial y = partialpartial y(2xy + y^3) = 2x + 3y^2 é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial partial Qpartial x = partialpartial x(x^2 + 3xy^2) = 2x + 3y^2 tal que . Para isso, as derivadas parciais devem satisfazer .
Vamos calcular:
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Como o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial partial fpartial x = P = 2xy + y^3 . Sabemos que:
f(x, y) = integral (2xy + y^3) , dx = x^2 y + y^3 x + g(y)
Integrando em relação a partial fpartial y = x^2 + 3y^2 x + g'(y) = Q = x^2 + 3xy^2 :
f(x, y) = x^2 y + x y^3
Onde é uma função que depende apenas de . Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Comparando os termos, vemos que , então é constante. Podemos considerar sem perda de generalidade.
Portanto, a função potencial é:

Passo 4

Agora, precisamos identificar os pontos de início e fim da curva . Como é a parte da elipse no primeiro quadrante, os pontos são:
  • Ponto de partida: quando
  • Ponto de chegada: quando

Passo 5

A integral de linha em um campo conservativo depende apenas dos valores da função potencial nos pontos de início e fim:
integralC F cdot dr = f(0, 3) - f(2, 0)
Vamos calcular:
f(0, 3) = (0)^2 cdot 3 + 0 cdot (3)^3 = 0
f(2, 0) = (2)^2 cdot 0 + 2 cdot (0)^3 = 0
Então,
integralC F cdot dr = 0 - 0 = 0

Resposta

A integral de linha vale .

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