Resolva a integral de linha
, onde
é a parte da elipse de equação
que está no primeiro quadrante, percorrida no sentido horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de linha
, onde
é a parte da elipse
que está no primeiro quadrante, percorrida no sentido horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Para isso, as derivadas parciais devem satisfazer
.
Vamos calcular:
Como
, o campo é conservativo.
Passo 3
Como o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
. Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Comparando os termos, vemos que
, então
é constante. Podemos considerar
sem perda de generalidade.
Portanto, a função potencial é:
Passo 4
Agora, precisamos identificar os pontos de início e fim da curva
. Como
é a parte da elipse no primeiro quadrante, os pontos são:
- Ponto de partida:
quando - Ponto de chegada:
quando
Passo 5
A integral de linha em um campo conservativo depende apenas dos valores da função potencial nos pontos de início e fim:
Vamos calcular:
Então,
Resposta
A integral de linha vale
.
Exercícios relacionados
Determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não. Justifique sua resposta.
, em que
e
são como no item anterior.
Calcule
, onde
é uma curva com parametrização
.
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
c) Qual o tempo necessário para que a massa de uma amostra desse elemento se reduza a
da massa inicial?