Resolva a integral de linha , onde é a parte da elipse de equação que está no primeiro quadrante, percorrida no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha , onde é a parte da elipse que está no primeiro quadrante, percorrida no sentido horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial tal que . Para isso, as derivadas parciais devem satisfazer .
Vamos calcular:
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Como o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de . Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Comparando os termos, vemos que , então é constante. Podemos considerar sem perda de generalidade.
Portanto, a função potencial é:

Passo 4

Agora, precisamos identificar os pontos de início e fim da curva . Como é a parte da elipse no primeiro quadrante, os pontos são:
  • Ponto de partida: quando
  • Ponto de chegada: quando

Passo 5

A integral de linha em um campo conservativo depende apenas dos valores da função potencial nos pontos de início e fim:
Vamos calcular:
Então,

Resposta

A integral de linha vale .

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Determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não. Justifique sua resposta. , em que e são como no item anterior.
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c) Qual o tempo necessário para que a massa de uma amostra desse elemento se reduza a da massa inicial?