Considere os subconjuntos de a seguir. Verifique se são subespaços. Em caso afirmativo, exiba geradores.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se um certo conjunto dentro de (que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2) é um subespaço vetorial. Além disso, se for, precisamos encontrar os geradores desse subespaço. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço e como identificar seus geradores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . O conjunto é formado por todos os polinômios da forma onde . Ou seja, qualquer polinômio em tem a forma .

Passo 3

Agora, para verificar se é um subespaço de , precisamos checar três condições:
  1. O vetor zero está em .
  2. é fechado sob adição.
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

1. Vetor zero em : O vetor zero em é o polinômio . Aqui, , então o vetor zero está em .

Passo 5

2. Fechamento sob adição: Vamos pegar dois polinômios quaisquer em :

A soma é:
Note que o coeficiente de é , que ainda satisfaz . Então, a soma está em .

Passo 6

3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Pegamos um polinômio em e multiplicamos por um escalar :
Aqui, o coeficiente de é , que continua satisfazendo . Portanto, também está em .

Passo 7

Como todas as três condições estão satisfeitas, é, de fato, um subespaço de .

Passo 8

Agora, vamos encontrar os geradores de . Observando a forma dos polinômios em :
Isso mostra que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios e . Portanto, os geradores de são .

Resposta

Sim, é um subespaço de e seus geradores são .

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(b) Determine a matriz de mudança de base de para .
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