Considere os subconjuntos de
a seguir. Verifique se são subespaços. Em caso afirmativo, exiba geradores.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se um certo conjunto
dentro de
(que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2) é um subespaço vetorial. Além disso, se for, precisamos encontrar os geradores desse subespaço. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço e como identificar seus geradores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. O conjunto
é formado por todos os polinômios da forma
onde
. Ou seja, qualquer polinômio em
tem a forma
.
Passo 3
Agora, para verificar se
é um subespaço de
, precisamos checar três condições:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
1. Vetor zero em
: O vetor zero em
é o polinômio
. Aqui,
, então o vetor zero está em
.
Passo 5
2. Fechamento sob adição: Vamos pegar dois polinômios quaisquer em
:
A soma
é:
Note que o coeficiente de
é
, que ainda satisfaz
. Então, a soma está em
.
Passo 6
3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Pegamos um polinômio
em
e multiplicamos por um escalar
:
Aqui, o coeficiente de
é
, que continua satisfazendo
. Portanto,
também está em
.
Passo 7
Como todas as três condições estão satisfeitas,
é, de fato, um subespaço de
.
Passo 8
Agora, vamos encontrar os geradores de
. Observando a forma dos polinômios em
:
Isso mostra que qualquer polinômio em
pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios
e
. Portanto, os geradores de
são
.
Resposta
Sim,
é um subespaço de
e seus geradores são
.