Considere os subconjuntos de a seguir. Verifique se são subespaços. Em caso afirmativo, exiba geradores. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se um certo conjunto dentro de (que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2) é um subespaço vetorial. Além disso, se for, precisamos encontrar os geradores desse subespaço. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço e como identificar seus geradores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é . O conjunto é formado por todos os polinômios da forma onde . Ou seja, qualquer polinômio em tem a forma .
Passo 3
Agora, para verificar se é um subespaço de , precisamos checar três condições:
O vetor zero está em .
é fechado sob adição.
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
1. Vetor zero em : O vetor zero em é o polinômio . Aqui, , então o vetor zero está em .
Passo 5
2. Fechamento sob adição: Vamos pegar dois polinômios quaisquer em :
A soma é:
Note que o coeficiente de é , que ainda satisfaz . Então, a soma está em .
Passo 6
3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Pegamos um polinômio em e multiplicamos por um escalar :
Aqui, o coeficiente de é , que continua satisfazendo . Portanto, também está em .
Passo 7
Como todas as três condições estão satisfeitas, é, de fato, um subespaço de .
Passo 8
Agora, vamos encontrar os geradores de . Observando a forma dos polinômios em :
Isso mostra que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios e . Portanto, os geradores de são .