© Use a identidade de Parseval para exibir como uma série numérica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos a Identidade de Parseval para expressar como uma série numérica. Isso envolve conhecimentos de Séries de Fourier e Análise de Fourier. Vamos precisar entender como aplicar a Identidade de Parseval, que relaciona a integral do quadrado de uma função com a soma dos quadrados dos seus coeficientes de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma função adequada para trabalhar. Uma boa opção é a função par definida no intervalo . Essa função é simétrica e possui uma expansão em série de Fourier composta apenas por termos de cosseno.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a série de Fourier para . A série de Fourier para uma função par como essa é dada por:
Aqui, os coeficientes de Fourier são $ \frac{4(-1){n}}{n{2}} $ para e $ a_{0} = \frac{\pi^{2}}{3} $.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Identidade de Parseval, que diz que:
No nosso caso, como a série só tem termos de cosseno, os são zero. Então, a identidade fica:
Resolvendo a integral:
Simplificando:
Isolando a soma:
Portanto:

Resposta

Usando a Identidade de Parseval, conseguimos expressar como a série numérica .

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