© Use a identidade de Parseval para exibir
como uma série numérica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos a Identidade de Parseval para expressar
como uma série numérica. Isso envolve conhecimentos de Séries de Fourier e Análise de Fourier. Vamos precisar entender como aplicar a Identidade de Parseval, que relaciona a integral do quadrado de uma função com a soma dos quadrados dos seus coeficientes de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma função adequada para trabalhar. Uma boa opção é a função par
definida no intervalo
. Essa função é simétrica e possui uma expansão em série de Fourier composta apenas por termos de cosseno.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a série de Fourier para
. A série de Fourier para uma função par como essa é dada por:
Aqui, os coeficientes de Fourier
são $ \frac{4(-1){n}}{n{2}} $ para
e $ a_{0} = \frac{\pi^{2}}{3} $.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Identidade de Parseval, que diz que:
No nosso caso, como a série só tem termos de cosseno, os
são zero. Então, a identidade fica:
Resolvendo a integral:
Simplificando:
Isolando a soma:
Portanto:
Resposta
Usando a Identidade de Parseval, conseguimos expressar
como a série numérica
.
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é o hemisfério sólido
.
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Nos Exercícios de 28 a 32, use o teorema do Exercício 26 para provar a desigualdade.
Nos Exercícios de 28 a 32, use o teorema do Exercício 26 para provar a desigualdade.