Nos Exercícios de 28 a 32, use o teorema do Exercício 26 para provar a desigualdade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a integral de de 0 a 4 é menor que a integral de de 0 a 4. Para isso, vamos usar o teorema do Exercício 26, que provavelmente trata de comparação de funções dentro de integrais. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais definidas e como comparar funções para resolver essa desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas funções que estão dentro das integrais:
Queremos mostrar que para todo no intervalo de 0 a 4. Vamos comparar e .

Passo 3

Observando a função , percebemos que o denominador é sempre maior que 2 quando , já que aumenta com .
Então, podemos dizer que:

Passo 4

Com isso, temos que:
Isso porque estamos dividindo por um denominador maior, o que resulta em um valor menor.

Passo 5

Agora, vamos comparar com . Claramente, para todo .
Então, seguimos a cadeia de desigualdades:

Passo 6

Agora, podemos integrar ambas as partes da desigualdade no intervalo de 0 a 4:
Isso mostra que a integral de é realmente menor que a integral de no mesmo intervalo.

Resposta

Portanto, utilizando o teorema de comparação, provamos que:

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Diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
(a) Use o método da separação de variáveis para obter a solução geral da EDP: .