Nos Exercícios de 28 a 32, use o teorema do Exercício 26 para provar a desigualdade.
integral0^4 x d xx^3+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a integral de de 0 a 4 é menor que a integral de de 0 a 4. Para isso, vamos usar o teorema do Exercício 26, que provavelmente trata de comparação de funções dentro de integrais. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais definidas e como comparar funções para resolver essa desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas funções que estão dentro das integrais:
Queremos mostrar que para todo no intervalo de 0 a 4. Vamos comparar e .

Passo 3

Observando a função x^3 + 2 > 2 para todo x > 0 , percebemos que o denominador é sempre maior que 2 quando , já que aumenta com .
Então, podemos dizer que:

Passo 4

Com isso, temos que:
xx^3 + 2 < x2
Isso porque estamos dividindo por um denominador maior, o que resulta em um valor menor.

Passo 5

Agora, vamos comparar xx^3 + 2 < x2 < x com . Claramente, para todo .
Então, seguimos a cadeia de desigualdades:

Passo 6

Agora, podemos integrar ambas as partes da desigualdade no intervalo de 0 a 4:
integral0^4 xx^3 + 2 , dx < integral0^4 x , dx
Isso mostra que a integral de é realmente menor que a integral de no mesmo intervalo.

Resposta

Portanto, utilizando o teorema de comparação, provamos que:
integral0^4 xx^3+2 , dx < integral0^4 x , dx

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