Nos Exercícios de 28 a 32, use o teorema do Exercício 26 para provar a desigualdade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a integral de
de 0 a 4 é menor que a integral de
de 0 a 4. Para isso, vamos usar o teorema do Exercício 26, que provavelmente trata de comparação de funções dentro de integrais. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais definidas e como comparar funções para resolver essa desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as duas funções que estão dentro das integrais:
Queremos mostrar que
para todo
no intervalo de 0 a 4. Vamos comparar
e
.
Passo 3
Observando a função
, percebemos que o denominador
é sempre maior que 2 quando
, já que
aumenta com
.
Então, podemos dizer que:
Passo 4
Com isso, temos que:
Isso porque estamos dividindo
por um denominador maior, o que resulta em um valor menor.
Passo 5
Agora, vamos comparar
com
. Claramente,
para todo
.
Então, seguimos a cadeia de desigualdades:
Passo 6
Agora, podemos integrar ambas as partes da desigualdade no intervalo de 0 a 4:
Isso mostra que a integral de
é realmente menor que a integral de
no mesmo intervalo.
Resposta
Portanto, utilizando o teorema de comparação, provamos que:
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Nos Exercícios de 28 a 32, use o teorema do Exercício 26 para provar a desigualdade.
© Use a identidade de Parseval para exibir
como uma série numérica.
Diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
(a) Use o método da separação de variáveis para obter a solução geral da EDP:
.