Utilize coordenadas esféricas.
Calcule
, onde
é o hemisfério sólido
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral tripla de
sobre o hemisfério sólido definido por
e
. A matéria que vamos usar aqui são as coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com regiões esféricas como essa. Precisamos saber transformar as coordenadas cartesianas para esféricas e ajustar a integral de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nessa sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
(a distância do ponto à origem),
(o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e
(o ângulo a partir do eixo z). As relações de conversão são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos expressar a função que queremos integrar,
, em coordenadas esféricas. Substituindo a expressão de
:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. A região
é um hemisfério de raio 3 (já que
) e
. Em coordenadas esféricas:
-
varia de 0 a 3. -
varia de 0 a , já que é um hemisfério superior. -
varia de 0 a , pois cobre meia volta em torno do eixo z.
Passo 5
Agora, montamos a integral com os limites determinados:
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integração em
:
Passo 6
Em seguida, a integração em
:
Sabendo que:
Aplicando isso:
Passo 7
Por último, a integração em
:
Sabemos que:
Resposta
Multiplicando todos os resultados:
Então, o valor da integral é
.