Utilize coordenadas esféricas.
Calcule integral triplaE y^2 d V, onde E é o hemisfério sólido x^2+y^2+z^2 <= 9 y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral tripla de sobre o hemisfério sólido definido por e . A matéria que vamos usar aqui são as coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com regiões esféricas como essa. Precisamos saber transformar as coordenadas cartesianas para esféricas e ajustar a integral de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nessa sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros: x = rho sinphi costheta (a distância do ponto à origem), y = rho sinphi sintheta (o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e z = rho cosphi (o ângulo a partir do eixo z). As relações de conversão são:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos expressar a função que queremos integrar, y^2 = (rho sinphi sintheta)^2 = rho^2 sin^2phi sin^2theta , em coordenadas esféricas. Substituindo a expressão de integral triplaE y^2 dV = integral triplaE rho^2 sin^2phi sin^2theta cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral triplaE rho^4 sin^3phi sin^2theta , drho , dphi , dtheta :
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. A região é um hemisfério de raio 3 (já que ) e . Em coordenadas esféricas:
  • varia de 0 a 3.
  • varia de 0 a , já que é um hemisfério superior.
  • varia de 0 a , pois cobre meia volta em torno do eixo z.

Passo 5

Agora, montamos a integral com os limites determinados:
integral0^pi integral0^pi/2 integral0^3 rho^4 sin^3phi sin^2theta , drho , dphi , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integração em integral0^3 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^3 = 2435 :

Passo 6

Em seguida, a integração em integral0^pi/2 sin^3phi , dphi :
integral sin^nphi , dphi = n-1n integral sin^n-2phi , dphi
Sabendo que:
integral sin^3phi , dphi = 23
Aplicando isso:

Passo 7

Por último, a integração em integral0^pi sin^2theta , dtheta :
integral sin^2theta , dtheta = pi2
Sabemos que:

Resposta

Multiplicando todos os resultados:
2435 times 23 times pi2 = 243 pi15 = 81 pi5
Então, o valor da integral é .

Exercícios relacionados