Nos Exercícios de 28 a 32, use o teorema do Exercício 26 para provar a desigualdade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente provar que a integral de
de -1 a 1 é menor que a integral de
no mesmo intervalo. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com comparação de integrais. Vamos precisar entender as propriedades das funções e como compará-las dentro de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as funções dentro das integrais. A função na primeira integral é
e na segunda é
. Vamos comparar essas duas funções para ver qual delas é maior em todo o intervalo de -1 a 1.
Passo 3
Observe que
sempre será maior ou igual a
, que é igual a
. Como
para todo
diferente de zero, o denominador da primeira função é sempre maior que o denominador de
, que simplifica para
.
Passo 4
Isso significa que
. Simplificando
, temos
. Então,
. No entanto, como
é sempre não negativo, podemos dizer que
para todo
no intervalo considerado.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambas as funções no intervalo de -1 a 1. Como
para todo
nesse intervalo, podemos aplicar a propriedade das integrais que diz que se
em um intervalo, então
nesse mesmo intervalo.
Passo 6
Então, aplicando essa propriedade, temos:
Isso confirma a desigualdade que queríamos provar.
Resposta
Portanto, mostramos que:
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como uma série numérica.
Utilize coordenadas esféricas.
Calcule , onde
é o hemisfério sólido
.
Calcule
Nos Exercícios de 28 a 32, use o teorema do Exercício 26 para provar a desigualdade.
Diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.