Nos Exercícios de 28 a 32, use o teorema do Exercício 26 para provar a desigualdade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente provar que a integral de de -1 a 1 é menor que a integral de no mesmo intervalo. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com comparação de integrais. Vamos precisar entender as propriedades das funções e como compará-las dentro de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as funções dentro das integrais. A função na primeira integral é e na segunda é . Vamos comparar essas duas funções para ver qual delas é maior em todo o intervalo de -1 a 1.

Passo 3

Observe que sempre será maior ou igual a , que é igual a . Como para todo diferente de zero, o denominador da primeira função é sempre maior que o denominador de , que simplifica para .

Passo 4

Isso significa que . Simplificando , temos . Então, . No entanto, como é sempre não negativo, podemos dizer que para todo no intervalo considerado.

Passo 5

Agora, vamos integrar ambas as funções no intervalo de -1 a 1. Como para todo nesse intervalo, podemos aplicar a propriedade das integrais que diz que se em um intervalo, então nesse mesmo intervalo.

Passo 6

Então, aplicando essa propriedade, temos:
Isso confirma a desigualdade que queríamos provar.

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Utilize coordenadas esféricas.
Calcule , onde é o hemisfério sólido .
Nos Exercícios de 28 a 32, use o teorema do Exercício 26 para provar a desigualdade.
Diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.