c) Use a série de Maclaurin de
para deduzir a série de Taylor em torno de
de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar a série de Maclaurin da função
para encontrar a série de Taylor em torno de
da função
. Isso está ligado ao conteúdo de séries de Taylor e Maclaurin, que são maneiras de representar funções como sequências infinitas de termos polinomiais. Vamos precisar conhecer a série de Maclaurin do
e aplicar algumas operações nela para chegar na série desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como é a série de Maclaurin para
. A série de Maclaurin é uma série de Taylor centrada em 0, e para
ela é:
Isso significa que podemos escrever
como a soma de
para
de 0 até o infinito.
Passo 3
Agora, queremos a série de Maclaurin para
. Para isso, substituímos
por
na série de
:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, queremos multiplicar essa série por
. Vamos fazer isso termo a termo:
Distribuindo o
na soma:
Passo 5
Vamos ajustar o índice da segunda soma para simplificar. Na segunda soma, substituímos
por
:
Mas para ajustar o índice:
Passo 6
Voltando à expressão original:
Vamos ajustar os índices para que ambas as somas comecem de
:
Isso simplifica para:
Resposta
A série de Taylor em torno de
para
é: