c) Use a série de Maclaurin de para deduzir a série de Taylor em torno de de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar a série de Maclaurin da função para encontrar a série de Taylor em torno de da função . Isso está ligado ao conteúdo de séries de Taylor e Maclaurin, que são maneiras de representar funções como sequências infinitas de termos polinomiais. Vamos precisar conhecer a série de Maclaurin do e aplicar algumas operações nela para chegar na série desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como é a série de Maclaurin para . A série de Maclaurin é uma série de Taylor centrada em 0, e para ela é:
Isso significa que podemos escrever como a soma de para de 0 até o infinito.
Passo 3
Agora, queremos a série de Maclaurin para . Para isso, substituímos por na série de :
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, queremos multiplicar essa série por . Vamos fazer isso termo a termo:
Distribuindo o na soma:
Passo 5
Vamos ajustar o índice da segunda soma para simplificar. Na segunda soma, substituímos por :
Mas para ajustar o índice:
Passo 6
Voltando à expressão original:
Vamos ajustar os índices para que ambas as somas comecem de :