c) Use a série de Maclaurin de para deduzir a série de Taylor em torno de de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar a série de Maclaurin da função para encontrar a série de Taylor em torno de da função . Isso está ligado ao conteúdo de séries de Taylor e Maclaurin, que são maneiras de representar funções como sequências infinitas de termos polinomiais. Vamos precisar conhecer a série de Maclaurin do e aplicar algumas operações nela para chegar na série desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como é a série de Maclaurin para . A série de Maclaurin é uma série de Taylor centrada em 0, e para ela é:
Isso significa que podemos escrever como a soma de para de 0 até o infinito.

Passo 3

Agora, queremos a série de Maclaurin para . Para isso, substituímos por na série de :
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, queremos multiplicar essa série por . Vamos fazer isso termo a termo:
Distribuindo o na soma:

Passo 5

Vamos ajustar o índice da segunda soma para simplificar. Na segunda soma, substituímos por :
Mas para ajustar o índice:

Passo 6

Voltando à expressão original:
Vamos ajustar os índices para que ambas as somas comecem de :
Isso simplifica para:

Resposta

A série de Taylor em torno de para é:

Exercícios relacionados

Seja o volume de um sólido delimitado pelo cilindro parabólico e pelos planos e . Calcule .
Mostre que satisfaz o Critério de Leibniz. Então, determine uma aproximação, com erro inferior a de tal série.
c) Utilizando a estimativa de erro das séries alternadas mostre que
Calcule o volume do sólido , no primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos .