Seja
o volume de um sólido delimitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está limitado por um cilindro parabólico dado por
e pelos planos
,
e
. Vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais múltiplas, para encontrar esse volume. Para isso, vamos precisar definir os limites de integração para as variáveis
,
e
de acordo com as restrições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de cada variável:
-
Para
: O sólido está entre os planos e , então varia de 0 a 8. -
Para
: O cilindro parabólico é definido por . Para que seja não-negativo ( ), temos: Então,varia de -2 a 2. -
Para
: varia de 0 até o valor dado pelo cilindro parabólico, ou seja, de 0 a .
Passo 3
Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 4
Começamos integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Calculando cada parte:
Então:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Mostre que
satisfaz o Critério de Leibniz. Então, determine uma aproximação, com erro inferior a
de tal série.
Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à
.
d)
d)
c) Use a série de Maclaurin de
para deduzir a série de Taylor em torno de
de
c) Utilizando a estimativa de erro das séries alternadas mostre que