Seja V o volume de um sólido delimitado pelo cilindro parabólico z = 8 - 2y^2 e pelos planos x = 0, x = 8 e z = 0. Calcule V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está limitado por um cilindro parabólico dado por e pelos planos , e . Vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais múltiplas, para encontrar esse volume. Para isso, vamos precisar definir os limites de integração para as variáveis , e de acordo com as restrições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de cada variável:
  • Para : O sólido está entre os planos e , então varia de 0 a 8.
  • Para : O cilindro parabólico é definido por . Para que seja não-negativo ( ), temos:
    Então, varia de -2 a 2.
  • Para : varia de 0 até o valor dado pelo cilindro parabólico, ou seja, de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 4

Começamos integrando em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a :
Calculando cada parte:
Então:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Finalmente, vamos integrar em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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