c) Utilizando a estimativa de erro das séries alternadas mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a estimativa de erro das séries alternadas para mostrar que a diferença entre a integral de de 0 a 1 e é menor que . Isso envolve cálculo integral e séries infinitas, mais especificamente séries alternadas. A gente vai precisar entender como funciona a estimativa de erro para séries alternadas e aplicar isso na integral dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal, tipo . A estimativa de erro para essas séries diz que o erro ao truncar a série após termos é no máximo o valor absoluto do próximo termo da série. Ou seja, se a gente para na -ésima parcela, o erro não vai passar do -ésimo termo.
Passo 3
Agora, vamos escrever a função como uma série de potências. Sabemos que:
Multiplicando por , temos:
Passo 4
Vamos integrar essa série de 0 a 1:
A integral de de 0 a 1 é , então:
Passo 5
Vamos calcular os primeiros termos dessa série para aproximar a integral. Calculando até :
Somando esses termos:
Passo 6
A estimativa de erro para uma série alternada é o valor absoluto do próximo termo após o último que usamos. No nosso caso, após , o próximo termo é para :
O erro é, portanto, menor que .
Passo 7
Queremos mostrar que:
Calculamos que a aproximação com deu e o erro é menor que . Vamos comparar com :
A diferença entre e é . Como o erro é menor que , que é menor que , concluímos que a desigualdade é válida.
Resposta
Assim, demonstramos que utilizando a estimativa de erro das séries alternadas.