c) Utilizando a estimativa de erro das séries alternadas mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a estimativa de erro das séries alternadas para mostrar que a diferença entre a integral de de 0 a 1 e é menor que . Isso envolve cálculo integral e séries infinitas, mais especificamente séries alternadas. A gente vai precisar entender como funciona a estimativa de erro para séries alternadas e aplicar isso na integral dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal, tipo . A estimativa de erro para essas séries diz que o erro ao truncar a série após termos é no máximo o valor absoluto do próximo termo da série. Ou seja, se a gente para na -ésima parcela, o erro não vai passar do -ésimo termo.

Passo 3

Agora, vamos escrever a função como uma série de potências. Sabemos que:
Multiplicando por , temos:

Passo 4

Vamos integrar essa série de 0 a 1:
A integral de de 0 a 1 é , então:

Passo 5

Vamos calcular os primeiros termos dessa série para aproximar a integral. Calculando até :
Somando esses termos:

Passo 6

A estimativa de erro para uma série alternada é o valor absoluto do próximo termo após o último que usamos. No nosso caso, após , o próximo termo é para :
O erro é, portanto, menor que .

Passo 7

Queremos mostrar que:
Calculamos que a aproximação com deu e o erro é menor que . Vamos comparar com :
A diferença entre e é . Como o erro é menor que , que é menor que , concluímos que a desigualdade é válida.

Resposta

Assim, demonstramos que utilizando a estimativa de erro das séries alternadas.

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c) Use a série de Maclaurin de para deduzir a série de Taylor em torno de de
Seja o volume de um sólido delimitado pelo cilindro parabólico e pelos planos e . Calcule .
Calcule o volume do sólido , no primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos .
na região compreendida entre as curvas e .