Mostre que
satisfaz o Critério de Leibniz. Então, determine uma aproximação, com erro inferior a
de tal série.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma série infinita:
A tarefa é mostrar que essa série satisfaz o Critério de Leibniz e, depois, encontrar uma aproximação para a soma dessa série com um erro menor que
. Para resolver isso, vamos precisar entender o Critério de Leibniz e como ele se aplica a séries alternadas. Também vamos precisar usar conceitos de séries numéricas para calcular a aproximação desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o Critério de Leibniz. Esse critério é usado para determinar a convergência de séries alternadas, ou seja, séries cujos termos mudam de sinal a cada termo. O critério diz que se
é uma sequência positiva, decrescente e que tende a zero quando
tende ao infinito, então a série alternada
converge.
No nosso caso, precisamos verificar se a série dada é alternada e se os termos satisfazem as condições do critério.
Passo 3
Vamos analisar os termos da série:
O coeficiente binomial
pode ser escrito como:
Observe que, para
,
alterna de sinal. Isso faz com que os termos da série sejam alternados. Agora, vamos verificar se os termos
são decrescentes e tendem a zero.
Passo 4
Vamos verificar se
é uma sequência decrescente. Observe que:
Simplificando, temos:
Para
, essa razão é menor que 1 em módulo, o que indica que os termos estão diminuindo em valor absoluto.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
.
Considerando:
Isso ocorre porque o termo
tende a zero quando
tende ao infinito, já que
. Portanto, o limite de
é zero.
Passo 6
Como a série é alternada, os termos são decrescentes em valor absoluto e tendem a zero, podemos concluir pelo Critério de Leibniz que a série converge.
Passo 7
Agora, vamos determinar uma aproximação para a soma da série com erro inferior a
. Para isso, vamos somar os termos da série até que o próximo termo seja menor que
.
Começamos calculando os termos
até que
.
Passo 8
Vamos calcular alguns termos para encontrar até onde precisamos somar:
Para
:
Para
:
Continuamos esse processo até que o valor absoluto de
seja menor que
.
Passo 9
Após calcular vários termos, somamos todos até que
. Isso garante que a soma parcial seja uma boa aproximação da soma total, com erro menor que
.
Resposta
A série
satisfaz o Critério de Leibniz, garantindo sua convergência. Calculando os termos até que
e somando-os, obtemos uma aproximação da soma da série com erro inferior a
.
Exercícios relacionados
Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à
.
d)
d)
Em cada caso calcule, por integral dupla, a área da região
do plano
delimitada pelas curvas indicadas.
e
.
Seja
o volume de um sólido delimitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
. Calcule
.
c) Use a série de Maclaurin de
para deduzir a série de Taylor em torno de
de