Mostre que satisfaz o Critério de Leibniz. Então, determine uma aproximação, com erro inferior a de tal série.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma série infinita:
A tarefa é mostrar que essa série satisfaz o Critério de Leibniz e, depois, encontrar uma aproximação para a soma dessa série com um erro menor que . Para resolver isso, vamos precisar entender o Critério de Leibniz e como ele se aplica a séries alternadas. Também vamos precisar usar conceitos de séries numéricas para calcular a aproximação desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o Critério de Leibniz. Esse critério é usado para determinar a convergência de séries alternadas, ou seja, séries cujos termos mudam de sinal a cada termo. O critério diz que se é uma sequência positiva, decrescente e que tende a zero quando tende ao infinito, então a série alternada converge.
No nosso caso, precisamos verificar se a série dada é alternada e se os termos satisfazem as condições do critério.

Passo 3

Vamos analisar os termos da série:
O coeficiente binomial pode ser escrito como:
Observe que, para , alterna de sinal. Isso faz com que os termos da série sejam alternados. Agora, vamos verificar se os termos são decrescentes e tendem a zero.

Passo 4

Vamos verificar se é uma sequência decrescente. Observe que:
Simplificando, temos:
Para , essa razão é menor que 1 em módulo, o que indica que os termos estão diminuindo em valor absoluto.

Passo 5

Agora, vamos verificar se .
Considerando:
Isso ocorre porque o termo tende a zero quando tende ao infinito, já que . Portanto, o limite de é zero.

Passo 6

Como a série é alternada, os termos são decrescentes em valor absoluto e tendem a zero, podemos concluir pelo Critério de Leibniz que a série converge.

Passo 7

Agora, vamos determinar uma aproximação para a soma da série com erro inferior a . Para isso, vamos somar os termos da série até que o próximo termo seja menor que .
Começamos calculando os termos até que .

Passo 8

Vamos calcular alguns termos para encontrar até onde precisamos somar:
Para :
Para :
Continuamos esse processo até que o valor absoluto de seja menor que .

Passo 9

Após calcular vários termos, somamos todos até que . Isso garante que a soma parcial seja uma boa aproximação da soma total, com erro menor que .

Resposta

A série satisfaz o Critério de Leibniz, garantindo sua convergência. Calculando os termos até que e somando-os, obtemos uma aproximação da soma da série com erro inferior a .

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Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à .
d)
Em cada caso calcule, por integral dupla, a área da região do plano delimitada pelas curvas indicadas.
e .
Seja o volume de um sólido delimitado pelo cilindro parabólico e pelos planos e . Calcule .
c) Use a série de Maclaurin de para deduzir a série de Taylor em torno de de