Calcule o volume do sólido , no primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que calcular o volume de um sólido chamado , que está no primeiro octante (onde todas as coordenadas , e são positivas). Esse sólido é limitado por algumas superfícies:
Um cilindro parabólico dado por ,
E os planos, , e .
Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, que nos ajudam a calcular volumes de regiões no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido . Como estamos no primeiro octante, , e são maiores ou iguais a zero. O cilindro parabólico nos diz como o varia com o . Os planos e são basicamente os eixos e , respectivamente. O plano é o plano . E o plano inclinado restringe os valores de e .
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração. Como estamos trabalhando no primeiro octante e com o plano , podemos resolver para em termos de :
Isso significa que para cada valor de entre 0 e 2, varia de 0 a .
Passo 4
Agora, vamos ver como varia. O cilindro parabólico nos dá , e o plano inferior é . Então, para cada ponto , varia de 0 a .
Passo 5
Com esses limites, podemos configurar a integral tripla para calcular o volume :