Calcule o volume do sólido , no primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que calcular o volume de um sólido chamado , que está no primeiro octante (onde todas as coordenadas , e são positivas). Esse sólido é limitado por algumas superfícies:
  • Um cilindro parabólico dado por ,
  • E os planos , , e .
Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, que nos ajudam a calcular volumes de regiões no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido . Como estamos no primeiro octante, , e são maiores ou iguais a zero. O cilindro parabólico nos diz como o varia com o . Os planos e são basicamente os eixos e , respectivamente. O plano é o plano . E o plano inclinado restringe os valores de e .

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração. Como estamos trabalhando no primeiro octante e com o plano , podemos resolver para em termos de :
Isso significa que para cada valor de entre 0 e 2, varia de 0 a .

Passo 4

Agora, vamos ver como varia. O cilindro parabólico nos dá , e o plano inferior é . Então, para cada ponto , varia de 0 a .

Passo 5

Com esses limites, podemos configurar a integral tripla para calcular o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral se reduz a:

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a :
Agora, a integral ficou:

Passo 8

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral se torna:

Passo 9

Agora, integramos termo a termo:

Passo 10

Somando todos os resultados:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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