© Utilizando a definição de corrente e os resultados acima, obtenha uma equação diferencial satisfeita por e resolva a equação, determinando a carga como função do tempo. Suponha que a carga armazenada no instante inicial vale .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para usar a definição de corrente elétrica e alguns resultados anteriores (mesmo que a gente não tenha eles aqui) para montar uma equação diferencial que descreva a carga ao longo do tempo. Depois, a gente precisa resolver essa equação para achar como a carga varia com o tempo, sabendo que no início ( ) a carga é . Vamos precisar entender o que é corrente elétrica e como relacioná-la com a carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que corrente elétrica ( ) é definida como a taxa de variação da carga em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é escrito como:
Isso significa que a corrente é igual à derivada da carga em função do tempo.

Passo 3

Agora, vamos supor que temos uma relação entre a corrente e a carga que foi obtida nos resultados anteriores. Sem os detalhes específicos, vamos assumir um caso comum, como um circuito RC (resistor-capacitor), onde a corrente está relacionada à carga através de uma constante de tempo . A equação diferencial típica para esse cenário é:
Aqui, é a constante de tempo do circuito, que depende dos componentes (resistor e capacitor ) do circuito.

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial. A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem e pode ser resolvida usando métodos padrão, como o fator integrante. A solução geral dessa equação é:

Passo 5

Essa solução nos mostra que a carga diminui exponencialmente com o tempo, indicando que o capacitor está descarregando no circuito RC.

Resposta

A carga em função do tempo é dada por:

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