© Utilizando a definição de corrente e os resultados acima, obtenha uma equação diferencial satisfeita por
e resolva a equação, determinando a carga como função do tempo. Suponha que a carga armazenada no instante inicial
vale
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para usar a definição de corrente elétrica e alguns resultados anteriores (mesmo que a gente não tenha eles aqui) para montar uma equação diferencial que descreva a carga
ao longo do tempo. Depois, a gente precisa resolver essa equação para achar como a carga varia com o tempo, sabendo que no início (
) a carga é
. Vamos precisar entender o que é corrente elétrica e como relacioná-la com a carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que corrente elétrica (
) é definida como a taxa de variação da carga em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é escrito como:
Isso significa que a corrente é igual à derivada da carga em função do tempo.
Passo 3
Agora, vamos supor que temos uma relação entre a corrente e a carga que foi obtida nos resultados anteriores. Sem os detalhes específicos, vamos assumir um caso comum, como um circuito RC (resistor-capacitor), onde a corrente está relacionada à carga através de uma constante de tempo
. A equação diferencial típica para esse cenário é:
Aqui,
é a constante de tempo do circuito, que depende dos componentes (resistor
e capacitor
) do circuito.
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial. A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem e pode ser resolvida usando métodos padrão, como o fator integrante. A solução geral dessa equação é:
Passo 5
Essa solução nos mostra que a carga
diminui exponencialmente com o tempo, indicando que o capacitor está descarregando no circuito RC.
Resposta
A carga em função do tempo é dada por:
Exercícios relacionados
Uma distribuição de carga estática produz um campo elétrico radial dado por
onde
e
são constantes. Utilizando a lei de Gauss na forma diferencial encontre a densidade de carga
Considere novamente um cilindro circular reto, de raio
e comprimento
, orientado ao longo do eixo
e centrado na origem. Ele possui uma densidade não-uniforme de carga
, em relação ao centro do cilindro. Determine o campo elétrico em
, i.e. no centro do cilindro.
O potencial de um átomo de hidrogênio neutro é dado por
onde
é a carga do elétron e
é o raio de Bohr. Determinar a distribuição de cargas que produz esse potencial e interpretar fisicamente o resultado.
Partindo da expressão da velocidade de uma onda harmônica,
, e utilizando as relações entre
, mostre que
.