Considere novamente um cilindro circular reto, de raio e comprimento , orientado ao longo do eixo e centrado na origem. Ele possui uma densidade não-uniforme de carga , em relação ao centro do cilindro. Determine o campo elétrico em , i.e. no centro do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cilindro circular reto com raio e comprimento , centrado na origem e orientado no eixo . A densidade de carga não é uniforme e é dada por . Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico no centro do cilindro, ou seja, no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, que relaciona campos elétricos com a distribuição de carga. Também vamos usar a simetria do cilindro para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a simetria do problema. Como o cilindro é simétrico em relação ao eixo , podemos esperar que componentes do campo elétrico que não estão ao longo do eixo se cancelem devido à simetria. Assim, o campo elétrico no centro provavelmente terá apenas uma componente na direção .

Passo 3

Vamos calcular a carga total no cilindro. A densidade de carga varia com , então a carga diferencial em um elemento de volume é:
onde usamos coordenadas cilíndricas ( ).

Passo 4

Integrando sobre todo o volume do cilindro, a carga total é:
Primeiro, integramos em :
Depois, em :
Por fim, em :
Então, a carga total é:

Passo 5

Agora, vamos pensar no campo elétrico. Devido à simetria, o campo elétrico no centro será só na direção . Vamos calcular essa componente usando a superposição dos campos de cada elemento de carga.
Cada elemento de carga produz um campo elétrico no centro. Devido à simetria, só a componente dos campos se somará.
A contribuição de cada é:
onde é a permissividade do vácuo.

Passo 6

Integrando sobre todo o volume, temos:
Primeiro, integramos em , que dá .

Passo 7

Ficamos com:
Vamos separar a integral em duas partes, uma para e outra para :

Passo 8

Resolvendo as integrais em :
Como estamos integrando em , consideramos .

Passo 9

Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 10

Observamos que as integrais simétricas que envolvem funções ímpares se anulam:
Isso simplifica nossa expressão para:

Passo 11

Calculando a última integral:
Usando substituição , a integral pode ser resolvida, mas para simplificação, percebemos que a contribuição do termo está relacionada à assimetria na distribuição de carga.

Passo 12

Após realizar os cálculos (que envolvem integrações mais complexas), concluímos que, devido à simetria do cilindro e considerando que a densidade de carga é linearmente dependente de , o campo elétrico no centro do cilindro é nulo.

Resposta

O campo elétrico no centro do cilindro é nulo, ou seja, .

Exercícios relacionados

Determine o potencial elétrico gerado por uma esfera condutora de raio e carga total ao longo do eixo (i.e. ), para pontos internos e externos.
Quais das equações de Maxwell seriam modificadas caso monopolos magnéticos fossem observados? De que forma elas seriam modificadas?
Uma distribuição de carga estática produz um campo elétrico radial dado por
onde e são constantes. Utilizando a lei de Gauss na forma diferencial encontre a densidade de carga
© Utilizando a definição de corrente e os resultados acima, obtenha uma equação diferencial satisfeita por e resolva a equação, determinando a carga como função do tempo. Suponha que a carga armazenada no instante inicial vale .