Considere novamente um cilindro circular reto, de raio
e comprimento
, orientado ao longo do eixo
e centrado na origem. Ele possui uma densidade não-uniforme de carga
, em relação ao centro do cilindro. Determine o campo elétrico em
, i.e. no centro do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cilindro circular reto com raio
e comprimento
, centrado na origem e orientado no eixo
. A densidade de carga não é uniforme e é dada por
. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico no centro do cilindro, ou seja, no ponto
.
Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, que relaciona campos elétricos com a distribuição de carga. Também vamos usar a simetria do cilindro para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a simetria do problema. Como o cilindro é simétrico em relação ao eixo
, podemos esperar que componentes do campo elétrico que não estão ao longo do eixo
se cancelem devido à simetria. Assim, o campo elétrico no centro provavelmente terá apenas uma componente na direção
.
Passo 3
Vamos calcular a carga total no cilindro. A densidade de carga varia com
, então a carga diferencial
em um elemento de volume
é:
onde usamos coordenadas cilíndricas (
).
Passo 4
Integrando sobre todo o volume do cilindro, a carga total
é:
Primeiro, integramos em
:
Depois, em
:
Por fim, em
:
Então, a carga total é:
Passo 5
Agora, vamos pensar no campo elétrico. Devido à simetria, o campo elétrico no centro será só na direção
. Vamos calcular essa componente usando a superposição dos campos de cada elemento de carga.
Cada elemento de carga
produz um campo elétrico
no centro. Devido à simetria, só a componente
dos campos se somará.
A contribuição
de cada
é:
onde
é a permissividade do vácuo.
Passo 6
Integrando
sobre todo o volume, temos:
Primeiro, integramos em
, que dá
.
Passo 7
Ficamos com:
Vamos separar a integral em duas partes, uma para
e outra para
:
Passo 8
Resolvendo as integrais em
:
Como estamos integrando em
, consideramos
.
Passo 9
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 10
Observamos que as integrais simétricas que envolvem funções ímpares se anulam:
Isso simplifica nossa expressão para:
Passo 11
Calculando a última integral:
Usando substituição
, a integral pode ser resolvida, mas para simplificação, percebemos que a contribuição do termo
está relacionada à assimetria na distribuição de carga.
Passo 12
Após realizar os cálculos (que envolvem integrações mais complexas), concluímos que, devido à simetria do cilindro e considerando que a densidade de carga é linearmente dependente de
, o campo elétrico no centro do cilindro é nulo.
Resposta
O campo elétrico no centro do cilindro é nulo, ou seja,
.