O potencial de um átomo de hidrogênio neutro é dado por
onde é a carga do elétron e é o raio de Bohr. Determinar a distribuição de cargas que produz esse potencial e interpretar fisicamente o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o potencial elétrico de um átomo de hidrogênio neutro e pede para a gente encontrar a distribuição de cargas que gera esse potencial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a equação de Poisson, que relaciona o potencial elétrico à distribuição de carga.
Passo 2
Primeiro, lembra que a equação de Poisson na eletrostática é dada por:
Aqui, é o operador Laplaciano, é o potencial elétrico, é a densidade de carga e é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar , então vamos rearranjar a equação de Poisson:
Agora, precisamos calcular o Laplaciano de .
Passo 4
Para funções que dependem apenas da distância radial , o Laplaciano em coordenadas esféricas simplifica para:
Vamos calcular a derivada primeira de em relação a , e depois a derivada da expressão resultante multiplicada por .
Passo 5
Primeiro, calculamos :
Vamos simplificar a expressão antes de derivar. Observamos que:
Derivando em relação a :
Isso envolve a aplicação da regra do quociente e da regra do produto.
Passo 6
Após calcular a derivada, seguimos para a próxima etapa: multiplicar a derivada por e, em seguida, derivar novamente em relação a . Isso nos dará .
Devido à complexidade das derivadas, vamos resumir o resultado final após o cálculo:
Passo 7
Agora que temos , podemos encontrar a densidade de carga :
Resposta
A distribuição de cargas que produz o potencial dado é:
Fisicamente, isso significa que há uma densidade de carga negativa distribuída radialmente ao redor do núcleo do átomo de hidrogênio, decaindo exponencialmente com a distância . Essa distribuição reflete a presença do elétron ao redor do próton no núcleo, onde a carga negativa do elétron está mais concentrada próximo ao núcleo e diminui à medida que nos afastamos dele.