Partindo da expressão da velocidade de uma onda harmônica,
, e utilizando as relações entre
, mostre que
.
Passo 1
Então, o que a gente precisa resolver aqui é mostrar duas formas diferentes de expressar a velocidade de uma onda harmônica. A gente vai começar com a fórmula básica da velocidade, que é
, onde
é o comprimento de onda e
é o período. Para chegar nas expressões pedidas, vamos usar as relações entre período (
), frequência (
) e frequência angular (
). Vamos precisar lembrar que
e que
.
Passo 2
Vamos começar com a expressão inicial:
. Sabemos que frequência
é o inverso do período
, ou seja,
. Isso significa que podemos substituir
por
na nossa fórmula.
Passo 3
Substituindo
por
na expressão da velocidade, temos:
Mas quatro queremos expressar
em termos de
, então vamos reorganizar a expressão:
Passo 4
Agora, para a segunda parte, queremos mostrar que
. Vamos lembrar que a frequência angular
está relacionada com a frequência
pela fórmula
, e que o número de onda
está relacionado com o comprimento de onda
pela fórmula
.
Passo 5
Vamos substituir
e
nas nossas expressões. Da primeira parte, temos
. Sabendo que
, podemos substituir
por
:
E como
, podemos substituir
por
:
Resposta
(a)
(b)