Partindo da expressão da velocidade de uma onda harmônica, , e utilizando as relações entre , mostre que .

Passo 1

Então, o que a gente precisa resolver aqui é mostrar duas formas diferentes de expressar a velocidade de uma onda harmônica. A gente vai começar com a fórmula básica da velocidade, que é , onde é o comprimento de onda e é o período. Para chegar nas expressões pedidas, vamos usar as relações entre período ( ), frequência ( ) e frequência angular ( ). Vamos precisar lembrar que e que .

Passo 2

Vamos começar com a expressão inicial: . Sabemos que frequência é o inverso do período , ou seja, . Isso significa que podemos substituir por na nossa fórmula.

Passo 3

Substituindo por na expressão da velocidade, temos:
Mas quatro queremos expressar em termos de , então vamos reorganizar a expressão:

Passo 4

Agora, para a segunda parte, queremos mostrar que . Vamos lembrar que a frequência angular está relacionada com a frequência pela fórmula , e que o número de onda está relacionado com o comprimento de onda pela fórmula .

Passo 5

Vamos substituir e nas nossas expressões. Da primeira parte, temos . Sabendo que , podemos substituir por :
E como , podemos substituir por :

Resposta

(a)
(b)

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