Uma distribuição de carga estática produz um campo elétrico radial dado por
onde
e
são constantes. Utilizando a lei de Gauss na forma diferencial encontre a densidade de carga
Passo 1
Beleza, o enunciado nos diz que temos um campo elétrico radial dado por
, onde
e
são constantes. A matéria que vamos usar aqui é a Lei de Gauss na forma diferencial, que relaciona o campo elétrico com a densidade de carga
. Para resolver, vamos precisar calcular a divergência do campo elétrico.
Passo 2
A Lei de Gauss na forma diferencial é expressa por:
Isso significa que a divergência do campo elétrico
é igual à densidade de carga
dividida pela constante de permissividade do vácuo
.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo elétrico
. Como o campo é radial e assume simetria esférica, é mais fácil calcular a divergência em coordenadas esféricas.
Passo 4
Em coordenadas esféricas, a divergência de um campo elétrico radial
é dada por:
Aqui,
.
Passo 5
Vamos calcular a derivada dentro da expressão:
Substituindo de volta na divergência:
Passo 6
Agora, usando a Lei de Gauss na forma diferencial:
Isolando
:
Resposta
A densidade de carga é dada por:
Exercícios relacionados
Considere novamente um cilindro circular reto, de raio
e comprimento
, orientado ao longo do eixo
e centrado na origem. Ele possui uma densidade não-uniforme de carga
, em relação ao centro do cilindro. Determine o campo elétrico em
, i.e. no centro do cilindro.
Determine o potencial elétrico gerado por uma esfera condutora de raio
e carga total
ao longo do eixo
(i.e.
), para pontos internos e externos.
© Utilizando a definição de corrente e os resultados acima, obtenha uma equação diferencial satisfeita por
e resolva a equação, determinando a carga como função do tempo. Suponha que a carga armazenada no instante inicial
vale
.
O potencial de um átomo de hidrogênio neutro é dado por
onde
é a carga do elétron e
é o raio de Bohr. Determinar a distribuição de cargas que produz esse potencial e interpretar fisicamente o resultado.