Uma distribuição de carga estática produz um campo elétrico radial dado por
E=A e^-b rr^2 er
onde A e b são constantes. Utilizando a lei de Gauss na forma diferencial encontre a densidade de carga rho

Passo 1

Beleza, o enunciado nos diz que temos um campo elétrico radial dado por , onde e são constantes. A matéria que vamos usar aqui é a Lei de Gauss na forma diferencial, que relaciona o campo elétrico com a densidade de carga . Para resolver, vamos precisar calcular a divergência do campo elétrico.

Passo 2

A Lei de Gauss na forma diferencial é expressa por:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
Isso significa que a divergência do campo elétrico é igual à densidade de carga dividida pela constante de permissividade do vácuo .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo elétrico . Como o campo é radial e assume simetria esférica, é mais fácil calcular a divergência em coordenadas esféricas.

Passo 4

Em coordenadas esféricas, a divergência de um campo elétrico radial nabla cdot E = 1r^2 ddr(r^2 Er) é dada por:
Aqui, .

Passo 5

Vamos calcular a derivada dentro da expressão:
ddr(r^2 Er) = ddr(r^2 cdot A e^-b rr^2) = ddr(A e^-b r) = -A b e^-b r
Substituindo de volta na divergência:
nabla cdot E = 1r^2 cdot (-A b e^-b r) = -A b e^-b rr^2

Passo 6

Agora, usando a Lei de Gauss na forma diferencial:
-A b e^-b rr^2 = rhovarepsilon0
Isolando rho = -varepsilon0 A b e^-b rr^2 :

Resposta

A densidade de carga é dada por:
rho = -varepsilon0 A b e^-b rr^2

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