© Se v=(-5,-4,12)B, quais são as suas coordenadas em relação à base canônica?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as coordenadas de um vetor na base canônica. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar saber quais são os vetores que formam a base e como eles se relacionam com a base canônica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a base canônica. Na base canônica de e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) , os vetores são:
Esses vetores servem como “pontos de referência” para qualquer vetor no espaço tridimensional.

Passo 3

Agora, para converter as coordenadas de B = b1, b2, b3 da base v = c1 b1 + c2 b2 + c3 b3 para a base canônica, precisamos saber como os vetores da base estão representados na base canônica. Supondo que a base seja formada por:
onde cada está na base canônica, o vetor pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base :
Aqui, , e são as coordenadas de na base .

Passo 4

Vamos substituir os valores de v = (-5) b1 + (-4) b2 + 12 b3 , b1 = (a1, a2, a3), b2 = (b1, b2, b3), b3 = (c1, c2, c3) e v = (-5)(a1, a2, a3) + (-4)(b1, b2, b3) + 12(c1, c2, c3) na equação:
Para encontrar as coordenadas de na base canônica, precisamos saber os componentes de cada na base canônica. Vamos supor que:
Substituindo na equação de :

Passo 5

Agora, vamos realizar as multiplicações:
v = (-5a1, -5a2, -5a3) + (-4b1, -4b2, -4b3) + (12c1, 12c2, 12c3)
Somando as componentes correspondentes:
v = (-5a1 - 4b1 + 12c1, -5a2 - 4b2 + 12c2, -5a3 - 4b3 + 12c3)
Essas são as coordenadas de na base canônica.

Passo 6

Sem os valores específicos de na base canônica, não conseguimos calcular os valores numéricos das coordenadas finais de . Portanto, para obter a resposta definitiva, precisamos conhecer os vetores que formam a base .

Resposta

As coordenadas de na base canônica são , onde são os vetores da base na base canônica.

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