Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso.
a) r(t)=(a(1-cos t), a(t-sen t)), 0 <= t <= 2 pi, a>0.
b) r(t)=(e^t cos t, e^t sen t), 0 <= t <= 2.
c) r(t)=a(cos t+t sen t) i+a(sen t-t cos t) j, 0 <= t <= 2 pi, a>0.
d) r(t)=a(sinh t-t) i+a(cosh t-1) j, 0 <= t <= T, a>0.
e) r(t)=sen t i+t j+(1-cos t) k, 0 <= t <= 2 pi.
f) r(t)=t i+3 t^2 j+6 t^3 k, 0 <= t <= 2.
g) r(t)=t i+ln (sec t) j+ln (sec t+tan t) k, 0 <= t <= pi4.
h) r(t)=a cos (omega t) i+a sen(omega t) j+b omega t k, 0 <= t <= 2 pi e omega>0.
i) r(t)=t i+j+(t^36+12 t) k, 1 <= t <= 3.
j) r(t)=(t^22+t) i+(t^22-t) j+raiz22 ln t k, 1 <= t <= 2.
k) r(t)=integral1^t cos uraiz2 u d u i+integral1^t sen uraiz2 u d u j+4 raizt k, 1 <= t <= 4.
l) r(t)=integral0^t 2 cos (pi u^2) d u i+integral0^t 2 sen(pi u^2) d u j+3 raiz5 t k, 1 <= t <= pi.

Passo 1

E aí! Vamos resolver o item a) juntos. A questão pede para encontrar o comprimento do arco descrito por uma partícula que se move ao longo de uma curva dada pela equação no intervalo de tempo . Vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de arco de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco S = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt de uma curva paramétrica no intervalo :
Isso significa que vamos precisar derivar as funções e com relação a , elevar ao quadrado, somar e então integrar a raiz quadrada dessa soma no intervalo dado.

Passo 3

Vamos identificar x(t) = a(1 - cos t) y(t) = a(t - sen t) e dxdt = a(sen t) (porque a derivada de -cos t é sen t) dydt = a(1 - cos t) (derivada de t é 1 e derivada de -sen t é -cos t) na nossa equação:
Agora, vamos derivar e em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir as derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Vamos fatorar S = integral0^2pi raiz(a sen t)^2 + (a(1 - cos t))^2 , dt de dentro da raiz:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
sen^2 t + (1 - cos t)^2 = sen^2 t + 1 - 2cos t + cos^2 t = 1 + 1 - 2cos t = 2(1 - cos t)
Podemos simplificar ainda mais utilizando a identidade trigonométrica:
Substituindo:

Passo 6

Agora, a integral fica mais simples:
Vamos fazer uma substituição: S = 2a integral0^2pi sen (t2) , dt , então S = 2a cdot 2 integral0^pi sen u , du = 4a integral0^pi sen u , du ou . Os limites de integração mudam para quando e quando :

Passo 7

Integrando :
Aplicando os limites:
integral sen u , du = -cos u + C

Resposta

O comprimento do arco descrito pela partícula é .

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