Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
f)
.
g)
.
h)
e
.
i)
.
j)
.
k)
.
l)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Passo 1
E aí! Vamos resolver o item a) juntos. A questão pede para encontrar o comprimento do arco descrito por uma partícula que se move ao longo de uma curva dada pela equação no intervalo de tempo
. Vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de arco de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco
de uma curva paramétrica
no intervalo
:
Isso significa que vamos precisar derivar as funções
e
com relação a
, elevar ao quadrado, somar e então integrar a raiz quadrada dessa soma no intervalo dado.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, vamos derivar
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir as derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Vamos fatorar
de dentro da raiz:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Podemos simplificar ainda mais utilizando a identidade trigonométrica:
Substituindo:
Passo 6
Agora, a integral fica mais simples:
Vamos fazer uma substituição:
, então
ou
. Os limites de integração mudam para
quando
e
quando
:
Passo 7
Integrando :
Aplicando os limites:
Resposta
O comprimento do arco descrito pela partícula é
.