Determine se os vetores
u=(1,-1,-2), v=(2,3,-1), w=(1,14,7)
são L. I. ou L. D… Caso sejam L. D., escreva um deles como combinação linear dos demais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se os vetores , e são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Se forem L.D., precisamos mostrar como um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes ou dependentes. Três vetores são linearmente independentes se nenhum deles puder ser escrito como uma combinação dos outros dois. Caso contrário, eles são linearmente dependentes.

Passo 3

Uma maneira prática de verificar isso é formando uma matriz com esses vetores como colunas e calculando o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são L.I. Se for zero, são L.D.

Passo 4

Vamos montar a matriz com os vetores A = 1 & 2 & 1 -1 & 3 & 14 -2 & -1 & 7 , e como colunas:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz det(A) = 1 cdot 3 cdot 7 + 2 cdot 14 cdot (-2) + 1 cdot (-1) cdot (-1) - [1 cdot 3 cdot (-2) + 2 cdot (-1) cdot 1 + 1 cdot 14 cdot (-1)] pode ser encontrado usando a regra de Sarrus ou a regra de expansão. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
= (1 times 3 times 7) + (2 times 14 times -2) + (1 times -1 times -1) - [(1 times 3 times -2) + (2 times -1 times 1) + (1 times 14 times -1)]
Calculando cada termo:
= 21 - 56 + 1 - [-6 -2 -14]
= (21 - 56 + 1) - (-22)
= (-34) + 22
= -12

Passo 6

O determinante , que é diferente de zero. Isso significa que os vetores , e são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores , e são linearmente independentes.

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