Seja uma transformação linear de em tal que e . Determine uma base para a imagem de .
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma transformação linear que vai de para . O enunciado nos dá duas imagens: e . Nosso objetivo é encontrar uma base para a imagem de , que basicamente é o conjunto de todos os possíveis vetores que pode produzir. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear é o conjunto de todas as combinações lineares das imagens dos vetores da base de . Como é um espaço de duas dimensões, vamos encontrar quais combinações dos vetores e geram a imagem de .
Passo 3
Vamos chamar os vetores dados de e . A imagem de é formada por todas as combinações lineares desses vetores:
Passo 4
Para encontrar uma base, precisamos verificar se e são linearmente independentes. Se forem, elas formam uma base diretamente. Para testar isso, vamos ver se alguma delas pode ser escrita como múltiplo da outra.
Passo 5
Observando os vetores:
Não existe um número tal que ou vice-versa, porque as componentes não são múltiplos umas das outras. Portanto, e são linearmente independentes.
Passo 6
Já que os vetores e são linearmente independentes, eles formam uma base para a imagem de . Isso significa que qualquer vetor na imagem de pode ser escrito de forma única como uma combinação desses dois vetores.
Resposta
Uma base para a imagem de é formada pelos vetores e . Em notação vetorial: