Seja
uma transformação linear de
em
tal que
e
. Determine uma base para a imagem de
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma transformação linear
que vai de
para
. O enunciado nos dá duas imagens:
e
. Nosso objetivo é encontrar uma base para a imagem de
, que basicamente é o conjunto de todos os possíveis vetores que
pode produzir. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear é o conjunto de todas as combinações lineares das imagens dos vetores da base de
. Como
é um espaço de duas dimensões, vamos encontrar quais combinações dos vetores
e
geram a imagem de
.
Passo 3
Vamos chamar os vetores dados de
e
. A imagem de
é formada por todas as combinações lineares desses vetores:
Passo 4
Para encontrar uma base, precisamos verificar se
e
são linearmente independentes. Se forem, elas formam uma base diretamente. Para testar isso, vamos ver se alguma delas pode ser escrita como múltiplo da outra.
Passo 5
Observando os vetores:
Não existe um número
tal que
ou vice-versa, porque as componentes não são múltiplos umas das outras. Portanto,
e
são linearmente independentes.
Passo 6
Já que os vetores
e
são linearmente independentes, eles formam uma base para a imagem de
. Isso significa que qualquer vetor na imagem de
pode ser escrito de forma única como uma combinação desses dois vetores.
Resposta
Uma base para a imagem de
é formada pelos vetores
e
. Em notação vetorial: