Seja T uma transformação linear de R^2 em R^3 tal que T(1,1)=(1,-2,0) e T(2,3)=(0,1,2). Determine uma base para a imagem de T.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma transformação linear que vai de para . O enunciado nos dá duas imagens: e . Nosso objetivo é encontrar uma base para a imagem de , que basicamente é o conjunto de todos os possíveis vetores que pode produzir. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear é o conjunto de todas as combinações lineares das imagens dos vetores da base de . Como é um espaço de duas dimensões, vamos encontrar quais combinações dos vetores e geram a imagem de .

Passo 3

Vamos chamar os vetores dados de Im(T) = av1 + bv2 mid a, b in R e . A imagem de é formada por todas as combinações lineares desses vetores:

Passo 4

Para encontrar uma base, precisamos verificar se e são linearmente independentes. Se forem, elas formam uma base diretamente. Para testar isso, vamos ver se alguma delas pode ser escrita como múltiplo da outra.

Passo 5

Observando os vetores:
v1 = (1, -2, 0) v2 = (0, 1, 2)
Não existe um número tal que ou vice-versa, porque as componentes não são múltiplos umas das outras. Portanto, e são linearmente independentes.

Passo 6

Já que os vetores e são linearmente independentes, eles formam uma base para a imagem de . Isso significa que qualquer vetor na imagem de pode ser escrito de forma única como uma combinação desses dois vetores.

Resposta

Uma base para a imagem de , (1, -2, 0), (0, 1, 2) , é formada pelos vetores e . Em notação vetorial:

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