Sejam e .
a) Mostre que e são ortogonais para todo .
b) Mostre que o campo vetorial é paralelo ao plano .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois campos vetoriais, e , definidos por:
Vamos resolver duas partes:
a) Mostrar que e são ortogonais para todo .
b) Mostrar que o campo vetorial é paralelo ao plano .
Para isso, precisaremos usar conceitos de produto escalar (para ortogonalidade) e produto vetorial (para paralelismo a um plano).

Passo 2

Parte a: Ortogonalidade de e
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar entre e é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Agora substituímos na fórmula do produto escalar:
Observamos que , então:
No entanto, para os vetores serem ortogonais, precisaríamos que . Parece que houve um erro nos termos ou na interpretação inicial. Vamos revisar.
Revisão:
Vamos recalcular o produto escalar corretamente:
Portanto, o produto escalar não é zero, o que indica que $ \vec{F} $ e $ \vec{G} $ não são ortogonais para todo . Parece haver uma inconsistência com o enunciado original. Talvez haja um erro na formulação dos vetores.

Passo 3

Parte b: Paralelismo de ao plano
O produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular tanto a quanto a . Para que seja paralelo ao plano , sua componente deve ser zero.
Vamos calcular :
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
Portanto:
Percebemos que a componente é zero, o que significa que o vetor resultante está no plano , ou seja, é paralelo a ele.

Resposta

a) Os vetores e não são ortogonais para todo , já que o produto escalar .
b) O campo vetorial é paralelo ao plano , pois sua componente é igual a zero.

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Seja a matriz
faça o que se pede:
a) (2,0 pontos) Calcule os autovalores de ;
© Se , quais são as suas coordenadas em relação à base canônica?
Determine se os vetores
são L. I. ou L. D… Caso sejam L. D., escreva um deles como combinação linear dos demais.