Sejam
e
.
a) Mostre que
e
são ortogonais para todo
.
b) Mostre que o campo vetorial
é paralelo ao plano
.
a) Mostre que
b) Mostre que o campo vetorial
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois campos vetoriais,
e
, definidos por:
Vamos resolver duas partes:
a) Mostrar que e
são ortogonais para todo
.
b) Mostrar que o campo vetorial é paralelo ao plano
.
a) Mostrar que
b) Mostrar que o campo vetorial
Para isso, precisaremos usar conceitos de produto escalar (para ortogonalidade) e produto vetorial (para paralelismo a um plano).
Passo 2
Parte a: Ortogonalidade de
e
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar entre
e
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Agora substituímos na fórmula do produto escalar:
Observamos que , então:
No entanto, para os vetores serem ortogonais, precisaríamos que
. Parece que houve um erro nos termos ou na interpretação inicial. Vamos revisar.
Revisão:
Vamos recalcular o produto escalar corretamente:
Portanto, o produto escalar não é zero, o que indica que $ \vec{F} $ e $ \vec{G} $ não são ortogonais para todo
. Parece haver uma inconsistência com o enunciado original. Talvez haja um erro na formulação dos vetores.
Passo 3
Parte b: Paralelismo de
ao plano
O produto vetorial
resulta em um novo vetor que é perpendicular tanto a
quanto a
. Para que
seja paralelo ao plano
, sua componente
deve ser zero.
Vamos calcular
:
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
Portanto:
Percebemos que a componente
é zero, o que significa que o vetor resultante está no plano
, ou seja, é paralelo a ele.
Resposta
a) Os vetores
e
não são ortogonais para todo
, já que o produto escalar
.
b) O campo vetorial
é paralelo ao plano
, pois sua componente
é igual a zero.