Sejam F(x, y, z)=e^x cos z i+e^x sen z j+k e G(x, y, z)=e^x cos z i+e^x sen z j+e^2 x k.
a) Mostre que F e G são ortogonais para todo (x, y, z).
b) Mostre que o campo vetorial F times G é paralelo ao plano x y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois campos vetoriais, F(x, y, z) e G(x, y, z), definidos por:
Vamos resolver duas partes:
a) Mostrar que F(x, y, z) = e^x cos z , i + e^x sen z , j + k e G(x, y, z) = e^x cos z , i + e^x sen z , j + e^2x k são ortogonais para todo F.
b) Mostrar que o campo vetorial G é paralelo ao plano (x, y, z).
Para isso, precisaremos usar conceitos de produto escalar (para ortogonalidade) e produto vetorial (para paralelismo a um plano).

Passo 2

Parte a: Ortogonalidade de F e G
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar entre F e G é dado por:
F cdot G = (Fx)(Gx) + (Fy)(Gy) + (Fz)(Gz)
Vamos calcular cada componente:
Fx = e^x cos z, Gx = e^x cos z
Fy = e^x sen z, Gy = e^x sen z
Agora substituímos na fórmula do produto escalar:
Observamos que , então:
Fz = 1, Gz = e^2x
No entanto, para os vetores serem ortogonais, precisaríamos que F cdot G = (e^x cos z)(e^x cos z) + (e^x sen z)(e^x sen z) + (1)(e^2x) . Parece que houve um erro nos termos ou na interpretação inicial. Vamos revisar.
Revisão:
Vamos recalcular o produto escalar corretamente:
= e^2x cos^2 z + e^2x sen^2 z + e^2x
Portanto, o produto escalar não é zero, o que indica que $ \vec{F} $ e $ \vec{G} $ não são ortogonais para todo cos^2 z + sen^2 z = 1. Parece haver uma inconsistência com o enunciado original. Talvez haja um erro na formulação dos vetores.

Passo 3

Parte b: Paralelismo de F times G ao plano xy
O produto vetorial F times G resulta em um novo vetor que é perpendicular tanto a F quanto a G. Para que F times G seja paralelo ao plano xy, sua componente z deve ser zero.
Vamos calcular F times G:
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
F times G = i & j & k e^x cos z & e^x sen z & 1 e^x cos z & e^x sen z & e^2x
Portanto:
Percebemos que a componente F times G = i ( e^x sen z cdot e^2x - 1 cdot e^x sen z ) - j ( e^x cos z cdot e^2x - 1 cdot e^x cos z ) + k ( e^x cos z cdot e^x sen z - e^x sen z cdot e^x cos z ) é zero, o que significa que o vetor resultante está no plano i: e^x sen z cdot e^2x - e^x sen z = e^3x sen z - e^x sen z = e^x sen z (e^2x - 1) , ou seja, é paralelo a ele.

Resposta

a) Os vetores F e G não são ortogonais para todo (x, y, z), já que o produto escalar F cdot G = 2e^2x neq 0.
b) O campo vetorial F times G é paralelo ao plano xy, pois sua componente z é igual a zero.

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