© (Valor: 0,5 ) Considerando que o vetor posição da partícula seja r(t)=cos (t) widehati+sen(t) widehatj.
Determine a equação da trajetória da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o vetor posição da partícula como r(t) = cos(t)widehati + sen(t)widehatj. Isso está relacionado ao estudo de movimentos no plano usando vetores posição. Nosso objetivo aqui é descobrir a equação da trajetória da partícula, ou seja, uma relação entre as coordenadas x e y sem depender do tempo t.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do vetor posição. Sabemos que:
x(t) = cos(t)
y(t) = sen(t)
Aqui, x(t) e y(t) representam as posições da partícula ao longo dos eixos x e y em função do tempo t.

Passo 3

Para encontrar a trajetória, queremos eliminar o parâmetro t e relacionar x e y diretamente. Sabemos que existe uma identidade trigonométrica fundamental que relaciona seno e cosseno:
cos^2(t) + sen^2(t) = 1
Essa identidade será útil para eliminar o t.

Passo 4

Agora, substituímos as expressões de x(t) e y(t) na identidade trigonométrica:
x^2 + y^2 = cos^2(t) + sen^2(t) = 1
Assim, conseguimos eliminar o t e obter uma relação direta entre x e y.

Resposta

A equação da trajetória da partícula é:
x^2 + y^2 = 1
Essa é a equação de uma circunferência com raio 1 centrada na origem.

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