© (Valor: 0,5 ) Considerando que o vetor posição da partícula seja .
Determine a equação da trajetória da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o vetor posição da partícula como . Isso está relacionado ao estudo de movimentos no plano usando vetores posição. Nosso objetivo aqui é descobrir a equação da trajetória da partícula, ou seja, uma relação entre as coordenadas e sem depender do tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do vetor posição. Sabemos que:
Aqui, e representam as posições da partícula ao longo dos eixos e em função do tempo .

Passo 3

Para encontrar a trajetória, queremos eliminar o parâmetro e relacionar e diretamente. Sabemos que existe uma identidade trigonométrica fundamental que relaciona seno e cosseno:
Essa identidade será útil para eliminar o .

Passo 4

Agora, substituímos as expressões de e na identidade trigonométrica:
Assim, conseguimos eliminar o e obter uma relação direta entre e .

Resposta

A equação da trajetória da partícula é:
Essa é a equação de uma circunferência com raio 1 centrada na origem.

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Resposta: