c) Se
verifique que
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar que as derivadas parciais de terceira ordem de
são iguais quando tomamos as derivadas na ordem
;
; e
. O conteúdo envolve derivadas parciais e a comutatividade das derivadas de ordem superior. Para resolver, vamos precisar calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Para derivar
em relação a
, tratamos
como uma constante:
Sabemos que
. A derivada de
é
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial, derivando
em relação a
:
Vamos derivar cada termo separadamente:
Para
:
Usamos a regra do quociente e a regra da cadeia:
Para
:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a terceira derivada parcial, derivando
em relação a
:
Derivando cada termo:
Para
:
Para
:
Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Para
:
Somando todos os termos:
Resposta
Após os cálculos, verificamos que: