c) Se w = tg(u v) + 2 ln(u + v) verifique que wuv = wuv = wvu

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar que as derivadas parciais de terceira ordem de são iguais quando tomamos as derivadas na ordem ; ; e . O conteúdo envolve derivadas parciais e a comutatividade das derivadas de ordem superior. Para resolver, vamos precisar calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Para derivar em relação a , tratamos como uma constante:
Sabemos que . A derivada de é , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial, derivando em relação a :
Vamos derivar cada termo separadamente:
Para :
Usamos a regra do quociente e a regra da cadeia:
Para :
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a terceira derivada parcial, derivando em relação a :
Derivando cada termo:
Para :
Para :
Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Para :
Somando todos os termos:

Resposta

Após os cálculos, verificamos que:

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