Prove que a soma dos quadrados dos interceptos
e
de qualquer plano tangente ao gráfico de
é constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a soma dos quadrados dos interceptos
,
e
de qualquer plano tangente ao gráfico da equação
é constante. Isso envolve geometria analítica e cálculo de tangentes a superfícies. Para resolver, precisamos entender como encontrar a equação de um plano tangente a uma superfície e como determinar seus interceptos com os eixos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação geral de um plano tangente à superfície dada. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais da função implícita
.
As derivadas parciais são:
Passo 3
A equação do plano tangente em um ponto
na superfície é dada por:
Substituindo as derivadas parciais que calculamos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por
:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para ficar na forma padrão do plano:
Simplificando os termos do lado direito:
Portanto, a equação do plano tangente fica:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os interceptos desse plano com os eixos
,
e
.
- Intercepto com o eixo
: Colocamos e na equação do plano:
- Intercepto com o eixo
: Colocamos e :
- Intercepto com o eixo
: Colocamos e :
Passo 6
Agora, vamos calcular a soma dos quadrados desses interceptos:
Passo 7
Lembrando que o ponto
está na superfície, ou seja:
Substituindo na soma dos quadrados dos interceptos:
Resposta
A soma dos quadrados dos interceptos
,
e
de qualquer plano tangente ao gráfico de
é constante e igual a
.