Prove que a soma dos quadrados dos interceptos x, y e z de qualquer plano tangente ao gráfico de x^(2/3) + y^(2/3) + z^(2/3) = a^(2/3) é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a soma dos quadrados dos interceptos , e de qualquer plano tangente ao gráfico da equação é constante. Isso envolve geometria analítica e cálculo de tangentes a superfícies. Para resolver, precisamos entender como encontrar a equação de um plano tangente a uma superfície e como determinar seus interceptos com os eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação geral de um plano tangente à superfície dada. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais da função implícita .
As derivadas parciais são:

Passo 3

A equação do plano tangente em um ponto na superfície é dada por:
Substituindo as derivadas parciais que calculamos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por :

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para ficar na forma padrão do plano:
Simplificando os termos do lado direito:
Portanto, a equação do plano tangente fica:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os interceptos desse plano com os eixos , e .
  • Intercepto com o eixo : Colocamos e na equação do plano:
  • Intercepto com o eixo : Colocamos e :
  • Intercepto com o eixo : Colocamos e :

Passo 6

Agora, vamos calcular a soma dos quadrados desses interceptos:

Passo 7

Lembrando que o ponto está na superfície, ou seja:
Substituindo na soma dos quadrados dos interceptos:

Resposta

A soma dos quadrados dos interceptos , e de qualquer plano tangente ao gráfico de é constante e igual a .

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