Se
e
são vetores constantes,
é o vetor de posição
e
é dado pelas inequações
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo vetorial. O enunciado fala sobre vetores constantes
e o vetor posição
. A gente precisa calcular uma integral tripla sobre a região
definida pelas inequações
,
e
. O objetivo é mostrar que:
Vamos precisar usar conhecimentos de álgebra vetorial, mudanças de coordenadas e integral múltipla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. As inequações
,
e
definem um paralelepípedo no espaço tridimensional, alinhado com os vetores
.
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de coordenadas. Vamos escolher uma base formada pelos vetores
. Nesse novo sistema, as coordenadas serão proporcionais aos produtos escalares
,
e
.
Passo 3
Vamos definir novas variáveis:
Então, a região
se transforma no cubo
,
,
.
Agora, precisamos expressar o volume diferencial
em termos de
. Isso envolve o determinante da matriz de mudança de coordenadas, que é o volume do paralelepípedo formado por
, dado por
.
Então,
Passo 4
Com a mudança de variáveis, a integral tripla fica:
Simplificando a constante:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral
. Como os limites de integração são independentes, podemos separar a integral em produtos:
Calculando cada integral:
Multiplicando os resultados:
Passo 6
Voltando à nossa integral original, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que: