Se a, b e c são vetores constantes, r é o vetor de posição x i+y j+z k e E é dado pelas inequações 0 <= a cdot r <= alpha, 0 <= b cdot r <= beta, 0 <= c cdot r <= gamma, mostre que
integral triplaE(a cdot r)(b cdot r)(c cdot r) d V=(alpha beta gamma)^28|a cdot(b times c)|

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo vetorial. O enunciado fala sobre vetores constantes integral triplaE (a cdot r)(b cdot r)(c cdot r) , dV = (alpha beta gamma)^28|a cdot (b times c)| e o vetor posição . A gente precisa calcular uma integral tripla sobre a região definida pelas inequações , e . O objetivo é mostrar que:
Vamos precisar usar conhecimentos de álgebra vetorial, mudanças de coordenadas e integral múltipla.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . As inequações , e definem um paralelepípedo no espaço tridimensional, alinhado com os vetores .
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de coordenadas. Vamos escolher uma base formada pelos vetores . Nesse novo sistema, as coordenadas serão proporcionais aos produtos escalares , e .

Passo 3

Vamos definir novas variáveis:
u = a cdot r, v = b cdot r, w = c cdot r
Então, a região dV = du , dv , dw|a cdot (b times c)| se transforma no cubo , , .
Agora, precisamos expressar o volume diferencial em termos de . Isso envolve o determinante da matriz de mudança de coordenadas, que é o volume do paralelepípedo formado por , dado por .
Então,

Passo 4

Com a mudança de variáveis, a integral tripla fica:
integral triplaE (a cdot r)(b cdot r)(c cdot r) , dV = integral tripla0^alpha integral tripla0^beta integral tripla0^gamma u v w cdot du , dv , dw|a cdot (b times c)|
Simplificando a constante:
1|a cdot (b times c)| integral tripla0^alpha integral tripla0^beta integral tripla0^gamma u v w , du , dv , dw

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral ( integral0^alpha u , du ) ( integral0^beta v , dv ) ( integral0^gamma w , dw ) . Como os limites de integração são independentes, podemos separar a integral em produtos:
integral0^alpha u , du = alpha^22, integral0^beta v , dv = beta^22, integral0^gamma w , dw = gamma^22
Calculando cada integral:
alpha^22 cdot beta^22 cdot gamma^22 = (alpha beta gamma)^28
Multiplicando os resultados:

Passo 6

Voltando à nossa integral original, temos:
1|a cdot (b times c)| cdot (alpha beta gamma)^28 = (alpha beta gamma)^28 |a cdot (b times c)|

Resposta

Portanto, mostramos que:
integral triplaE (a cdot r)(b cdot r)(c cdot r) , dV = (alpha beta gamma)^28|a cdot (b times c)|

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