(Momento de Inércia) Se B é um corpo com densidade volumétrica de então define-se o momento de inércia de B em relação a um eixo fixo por
I=integral triplaB r^2 d m
onde r=r(x, y, z) é a distância do ponto (x, y, z) ao eixo e
d m=de
(b) Calcule o momento de inércia, em torno do eixo z, do sólido homogêneo limitado pelo cone z^2=4 x^2+4 y^2 entre os planos z=0 e z=4 supondo que a densidade de massa por unidade de volume seja K kg / m^3 ( K constante).

Passo 1

Beleza, vamos entender primeiro o que a questão está pedindo. Temos que calcular o momento de inércia de um sólido que é um cone, em torno do eixo z. O cone é definido pelas equações e está limitado entre os planos e . A densidade de massa por unidade de volume é uma constante kg/m³. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, para somar todas as pequenas partes de massa multiplicadas pelo quadrado da distância delas ao eixo z.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do cone. A equação pode ser reescrita como , o que mostra que é um cone com abertura simétrica em torno do eixo z.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, qualquer ponto é dado por , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo z,
  • é o ângulo ao redor do eixo z,
  • é a altura.
Na coordenadas cilíndricas, a densidade se transforma em . Como a densidade é constante , temos .

Passo 4

Agora, vamos expressar a distância I = integral triplaB r^2 cdot d m = integral triplaB r^2 cdot K cdot r , dr , dtheta , dz = K integral triplaB r^3 , dr , dtheta , dz ao eixo z, que no caso das coordenadas cilíndricas é simplesmente . Então, a fórmula do momento de inércia fica:

Passo 5

Precisamos agora determinar os limites de integração. O cone é limitado entre z = 2r Rightarrow r = z2 e . A relação entre e a partir da equação do cone é:
Então, para cada altura , varia de 0 a . O ângulo varia de 0 a .

Passo 6

Agora, montamos a integral com os limites definidos:
I = K integral0^2pi integral0^4 integral0^z2 r^3 , dr , dz , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a integral0^z2 r^3 , dr = [ r^44 ]0^z2 = 14 ( ( z2 )^4 - 0 ) = z^44 cdot 16 = z^464 :

Passo 8

Substituímos esse resultado na integral:
I = K integral0^2pi integral0^4 z^464 , dz , dtheta = K64 integral0^2pi integral0^4 z^4 , dz , dtheta

Passo 9

Agora, resolvemos a integral em relação a integral0^4 z^4 , dz = [ z^55 ]0^4 = 4^55 - 0 = 10245 :

Passo 10

Substituímos esse valor na integral:
I = K64 cdot 10245 integral0^2pi dtheta = K cdot 102464 cdot 5 cdot [ theta ]0^2pi = K cdot 1024320 cdot 2pi

Passo 11

Simplificamos os termos numéricos:
1024320 = 3210 = 3.2
Então,
I = 3.2K cdot 2pi = 6.4Kpi

Resposta

O momento de inércia do cone em torno do eixo é kg·m².

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