(Momento de Inércia) Se
é um corpo com densidade volumétrica
então define-se o momento de inércia de
em relação a um eixo fixo por
onde
é a distância do ponto
ao eixo e
(b) Calcule o momento de inércia, em torno do eixo
, do sólido homogêneo limitado pelo cone
entre os planos
e
supondo que a densidade de massa por unidade de volume seja
(
constante).
Passo 1
Beleza, vamos entender primeiro o que a questão está pedindo. Temos que calcular o momento de inércia de um sólido que é um cone, em torno do eixo z. O cone é definido pelas equações
e está limitado entre os planos
e
. A densidade de massa por unidade de volume é uma constante
kg/m³. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, para somar todas as pequenas partes de massa multiplicadas pelo quadrado da distância delas ao eixo z.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação do cone. A equação
pode ser reescrita como
, o que mostra que é um cone com abertura simétrica em torno do eixo z.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, qualquer ponto é dado por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo z, -
é o ângulo ao redor do eixo z, -
é a altura.
Na coordenadas cilíndricas, a densidade
se transforma em
. Como a densidade é constante
, temos
.
Passo 4
Agora, vamos expressar a distância
ao eixo z, que no caso das coordenadas cilíndricas é simplesmente
. Então, a fórmula do momento de inércia
fica:
Passo 5
Precisamos agora determinar os limites de integração. O cone é limitado entre
e
. A relação entre
e
a partir da equação do cone
é:
Então, para cada altura
,
varia de 0 a
. O ângulo
varia de 0 a
.
Passo 6
Agora, montamos a integral com os limites definidos:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Passo 8
Substituímos esse resultado na integral:
Passo 9
Agora, resolvemos a integral em relação a
:
Passo 10
Substituímos esse valor na integral:
Passo 11
Simplificamos os termos numéricos:
Então,
Resposta
O momento de inércia do cone em torno do eixo
é
kg·m².