Prove que se f: R R for contínua, então
(b) integral0^x integral0^y integral0^z f(t) d t d z d y=12 integral0^x(x-t)^2 f(t) d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, se integral0^x integral0^y integral0^z f(t) , dt , dz , dy = 12 integral0^x (x - t)^2 f(t) , dt for contínua, então:
Vamos usar cálculo de integrais múltiplas e mudança de ordem de integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral do lado esquerdo:
integral0^x integral0^y integral0^z f(t) , dt , dz , dy
Isso significa que estamos integrando em três etapas: primeiro de a , depois de a , e por último de a .

Passo 3

Vamos simplificar começando pela integral mais interna:
integral0^z f(t) , dt
Chamaremos isso de , que é a antiderivada de .

Passo 4

Agora, substituímos integral0^y F(z) , dz na segunda integral:
Isso nos dá a integral de de a .

Passo 5

Vamos fazer isso de novo na próxima camada:
integral0^x ( integral0^y F(z) , dz ) dy
Agora temos uma integral dupla.

Passo 6

Para facilitar, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar integral0^x integralz^x F(z) , dy , dz de a e depois de a , vamos integrar de a e de a :

Passo 7

A integral em relação a integralz^x F(z) , dy = F(z) (x - z) é simples, já que não depende de :

Passo 8

Substituímos de volta na integral externa:
integral0^x F(z) (x - z) , dz
Lembrando que integral0^x ( integral0^z f(t) , dt ) (x - z) , dz , podemos substituir:

Passo 9

Agora, vamos trocar novamente a ordem de integração. Pensando em uma região triangular no plano integral0^x f(t) ( integralt^x (x - z) , dz ) dt - , onde .
Rearranjando, temos e .
Então, a integral fica:

Passo 10

Vamos resolver a integral interna:
integralt^x (x - z) , dz
Fazendo a substituição integral0^x - t u , du = (x - t)^22 , temos:

Passo 11

Substituindo de volta na integral externa:
integral0^x f(t) cdot (x - t)^22 , dt = 12 integral0^x (x - t)^2 f(t) , dt

Resposta

Portanto, provamos que:
integral0^x integral0^y integral0^z f(t) , dt , dz , dy = 12 integral0^x (x - t)^2 f(t) , dt

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