Prove que se
for contínua, então
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, se
for contínua, então:
Vamos usar cálculo de integrais múltiplas e mudança de ordem de integração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral do lado esquerdo:
Isso significa que estamos integrando
em três etapas: primeiro de
a
, depois de
a
, e por último de
a
.
Passo 3
Vamos simplificar começando pela integral mais interna:
Chamaremos isso de
, que é a antiderivada de
.
Passo 4
Agora, substituímos
na segunda integral:
Isso nos dá a integral de
de
a
.
Passo 5
Vamos fazer isso de novo na próxima camada:
Agora temos uma integral dupla.
Passo 6
Para facilitar, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar
de
a
e depois
de
a
, vamos integrar
de
a
e
de
a
:
Passo 7
A integral em relação a
é simples, já que
não depende de
:
Passo 8
Substituímos de volta na integral externa:
Lembrando que
, podemos substituir:
Passo 9
Agora, vamos trocar novamente a ordem de integração. Pensando em uma região triangular no plano
-
, onde
.
Rearranjando, temos
e
.
Então, a integral fica:
Passo 10
Vamos resolver a integral interna:
Fazendo a substituição
, temos:
Passo 11
Substituindo de volta na integral externa:
Resposta
Portanto, provamos que: