c) y' - y = e^x, y(0) = 0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema nos pede. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Isso significa que queremos encontrar uma função que, quando derivada e combinada conforme a equação, satisfaça a igualdade. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica eficaz para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com a nossa equação original , percebemos que:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Para encontrar o valor da constante , usamos a condição inicial :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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