h) onde e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica substituindo por , o que nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observando o lado direito, vemos que é , que já é uma solução da equação homogênea. Portanto, para evitar redundância, assumimos uma forma multiplicada por :
onde é uma constante a ser determinada.

Passo 4

Vamos derivar para encontrar e :
Substituindo e na equação diferencial:
Igualando ao lado direito da equação original:
Isso nos dá , então:

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, com :
Em seguida, derivamos para encontrar :
Aplicando :
Substituindo :

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

c) .
Determine uma aproximação de com erro inferior a .
, sendo .
Em cada caso calcule, por integral dupla, a área da região do plano delimitada pelas curvas indicadas.
e .