h)
onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
, o que nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Observando o lado direito, vemos que é
, que já é uma solução da equação homogênea. Portanto, para evitar redundância, assumimos uma forma multiplicada por
:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 4
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Substituindo
e
na equação diferencial:
Igualando ao lado direito da equação original:
Isso nos dá
, então:
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, com
:
Em seguida, derivamos
para encontrar
:
Aplicando
:
Substituindo
:
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
c)
.
Determine uma aproximação de
com erro inferior a
.
Em cada caso calcule, por integral dupla, a área da região
do plano
delimitada pelas curvas indicadas.
e
.