, sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é
, onde
é o retângulo
. O assunto aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e aplicar a propriedade da integral iterada, que permite integrar uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a integral. A região
é um retângulo, então os limites de integração são simples:
varia de 1 a 2 e
varia de 0 a 1. Podemos escrever a integral como:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos resolver a integral interna
. Note que
é tratado como uma constante em relação a
, então podemos colocá-lo fora da integral:
A integral de
em relação a
é uma função que conhecemos: a função arco-tangente,
.
Passo 4
Calculando a integral interna:
Sabemos que
e
, então:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Como
é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Passo 6
Vamos calcular a integral
. A antiderivada de
é
, então:
Resposta
A solução da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
h)
onde
e
.
c)
.
Em cada caso calcule, por integral dupla, a área da região
do plano
delimitada pelas curvas indicadas.
e
.
Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à
.
d)
d)