integral duplaD x1+y^2 d x d y, sendo D=[1,2] times[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é , onde é o retângulo . O assunto aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e aplicar a propriedade da integral iterada, que permite integrar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a integral. A região integral1^2 ( integral0^1 x1+y^2 , dy ) dx é um retângulo, então os limites de integração são simples: varia de 1 a 2 e varia de 0 a 1. Podemos escrever a integral como:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos resolver a integral interna x integral0^1 11+y^2 , dy . Note que é tratado como uma constante em relação a , então podemos colocá-lo fora da integral:
A integral de em relação a é uma função que conhecemos: a função arco-tangente, .

Passo 4

Calculando a integral interna:
x [ arctan(y) ]0^1 = x ( arctan(1) - arctan(0) )
Sabemos que x ( pi4 - 0 ) = pi4 x e , então:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^2 pi4 x , dx
Como pi4 integral1^2 x , dx é uma constante, podemos tirá-la da integral:

Passo 6

Vamos calcular a integral pi4 [ x^22 ]1^2 = pi4 ( 2^22 - 1^22 ) = pi4 ( 42 - 12 ) = pi4 ( 32 ) . A antiderivada de é , então:

Resposta

A solução da integral dupla é .

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