, sendo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é , onde é o retângulo . O assunto aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e aplicar a propriedade da integral iterada, que permite integrar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a integral. A região é um retângulo, então os limites de integração são simples: varia de 1 a 2 e varia de 0 a 1. Podemos escrever a integral como:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos resolver a integral interna . Note que é tratado como uma constante em relação a , então podemos colocá-lo fora da integral:
A integral de em relação a é uma função que conhecemos: a função arco-tangente, .

Passo 4

Calculando a integral interna:
Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Como é uma constante, podemos tirá-la da integral:

Passo 6

Vamos calcular a integral . A antiderivada de é , então:

Resposta

A solução da integral dupla é .

Exercícios relacionados

h) onde e .
c) .
Em cada caso calcule, por integral dupla, a área da região do plano delimitada pelas curvas indicadas.
e .
Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à .
d)