& (c6) (y ln y-e^-x y) d x+(1y+x ln y) d y=0 & partial Mpartial y=ln y+1+x e^-x y & partial Npartial x=ln y+e^-x y partial Mpartial y neq partial Npartial x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma equação diferencial assim:
(y ln y - e^-x y) dx + (1y + x ln y) dy = 0
A matéria aqui envolve equações diferenciais exatas. A gente vai precisar verificar se essa equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata. Para isso, vamos usar derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M(x, y) = y ln y - e^-x y e N(x, y) = 1y + x ln y na nossa equação diferencial:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, a gente calcula as derivadas parciais de partial Mpartial y = ln y + 1 + x e^-x y com respeito a partial Npartial x = ln y + e^-x y e de com respeito a :

Passo 4

Comparando essas duas derivadas parciais:
partial Mpartial y = ln y + 1 + x e^-x y
partial Npartial x = ln y + e^-x y
Vemos que:
partial Mpartial y neq partial Npartial x
Isso significa que a equação não é exata.

Passo 5

Quando a equação não é exata, a gente procura um fator integrante que, multiplicando a equação original, a torna exata. Vamos tentar encontrar um fator que dependa somente de , ou seja, .

Passo 6

Para encontrar mu(y) = e^integral partial Mpartial y - partial Npartial xN dy , usamos a fórmula:
partial Mpartial y - partial Npartial x = (ln y + 1 + x e^-x y) - (ln y + e^-x y) = 1 + (x - 1) e^-x y
Vamos calcular o numerador primeiro:
partial Mpartial y - partial Npartial xN = 1 + (x - 1) e^-x y1y + x ln y
Mas isso complicaria a integral, então vamos tentar uma abordagem diferente. Uma forma mais simples é assumir que depende apenas de e usar a relação:
Essa fração não simplifica facilmente, então talvez seja melhor tentar um fator integrante que depende de e , mas isso complicaria mais. Para simplificar, vamos considerar que a equação pode não ter um fator integrante simples, então vamos focar na resposta final.

Resposta

A equação diferencial dada não é exata porque não é igual a . Para torná-la exata, seria necessário encontrar um fator integrante adequado, o que pode envolver técnicas avançadas ou assumir uma dependência específica do fator, como . Sem um fator integrante específico, a solução exata não pode ser determinada diretamente.

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