Encontre as derivadas das funções abaixo:
f(x, y, z) = arctg(x * y * z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as derivadas da função . Estamos lidando com derivadas parciais, já que a função tem três variáveis: , e . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular a derivada de uma função composta e aplicar as regras de derivação para funções com múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função em relação a é . No nosso caso, . Portanto, ao calcular a derivada parcial em relação a uma das variáveis, vamos usar a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Aplicando a regra da cadeia:
Agora, derivamos em relação a :
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usando a mesma lógica:
Derivando em relação a :
Então:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, aplicando a regra da cadeia:
Derivando em relação a :
Então:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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