Um cabo de aço com 50 m de comprimento é submetido a uma tensão de tração sigma=12,3 kN / cm^2. Sabendo-se que Ea c o=210 GPa e alpha=11,7 times 10^-6 / ^circ C, pede-se determinar: a. o alongamento do fio ( de ) em cm .
b. qual o aumento de temperatura ( De ) necessário para se obter o mesmo alongamento?
Respostas: de

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cabo de aço com 50 metros de comprimento que está sendo esticado com uma tensão de tração de sigma = 12,3 kN/cm^2. Sabemos que o módulo de elasticidade do aço é Eaco = 210 GPa e o coeficiente de dilatação térmica é alpha = 11,7 times 10^-6/^circC. A partir desses dados, vamos calcular:
a. O alongamento do fio ( de) em centímetros.
b. O aumento de temperatura ( De) necessário para obter o mesmo alongamento.
Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas de tensão, deformação e dilatação térmica.

Passo 2

Vamos começar com a parte a, que é calcular o alongamento do fio ( de). Primeiro, precisamos entender a relação entre tensão ( sigma), módulo de elasticidade ( E), e deformação ( varepsilon).
A fórmula que relaciona esses conceitos é:
sigma = E cdot varepsilon
Onde:
  • sigma é a tensão aplicada,
  • E é o módulo de elasticidade,
  • varepsilon é a deformação, que é o alongamento relativo ( de), sendo L o comprimento original.

Passo 3

Primeiro, precisamos converter todas as unidades para que fiquem compatíveis. Vamos converter a tensão de kN/cm^2 para N/m^2 (Pascals).
Sabemos que:
  • 1 kN = 10^3 N
  • 1 cm^2 = 10^-4 m^2
Portanto,
sigma = 12,3 times 10^3 , N/10^-4 , m^2 = 12,3 times 10^7 , N/m^2 = 1,23 times 10^8 , Pa

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da tensão para encontrar a deformação:
varepsilon = sigmaE
Substituindo os valores:
varepsilon = 1,23 times 10^8 , Pa210 times 10^9 , Pa = 1,232100 = 0,0005857

Passo 5

A deformação varepsilon é o alongamento relativo, ou seja:
varepsilon = de
Queremos encontrar de, então rearranjamos a equação:
de
Substituindo os valores (lembrando que L = 50 , m):
de
Arredondando, de.

Passo 6

Agora, vamos para a parte b, que é encontrar o aumento de temperatura ( De) necessário para obter o mesmo alongamento. Para isso, usamos a fórmula da dilatação térmica:
de
Queremos resolver para De:
De

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos:
De

Resposta

de

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