Uma placa de aço está submetida aos seguintes valore de tensões: sigma x=200 MPa e sigma y=300 MPa. AS deformações que ocorrem como resultado destas tensões são: varepsilon x =538 times 10-6, varepsilon y=1152 times 10-6. Não ocorre escoamento na placa. Estime o módulo de Young E e coeficiente Poisson vartheta deste material.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma placa de aço que está enfrentando duas tensões: sigmax = 200 MPa e sigmay = 300 MPa. As deformações correspondentes são varepsilonx = 538 times 10^-6 e varepsilony = 1152 times 10^-6. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas importantes sobre esse material: o Módulo de Young ( E) e o Coeficiente de Poisson ( vartheta). Para isso, vamos usar conceitos de resistência dos materiais, especificamente as relações de deformação em tensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fórmulas que conectam tensão e deformação. No caso de um material submetido a tensões em duas direções (como sigmax e sigmay), as deformações ( varepsilonx e varepsilony) estão relacionadas ao Módulo de Young e ao Coeficiente de Poisson da seguinte maneira:
varepsilonx = 1E (sigmax - vartheta sigmay)
varepsilony = 1E (sigmay - vartheta sigmax)
Essas equações vêm da teoria de deformação linear e assumem que o material está dentro do limite elástico (o que, nesse caso, está acontecendo porque não há escoamento).

Passo 3

Vamos usar as equações acima para montar um sistema e resolver para E e vartheta. Primeiro, reescrevemos as equações:
538 times 10^-6 = 1E (200 - vartheta times 300)
1152 times 10^-6 = 1E (300 - vartheta times 200)
Nossa meta é isolar E e vartheta. Podemos multiplicar ambos os lados de cada equação por E para facilitar:
538 times 10^-6 times E = 200 - 300vartheta
1152 times 10^-6 times E = 300 - 200vartheta

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. 538 times 10^-6 E = 200 - 300vartheta
  2. 1152 times 10^-6 E = 300 - 200vartheta
Podemos resolver esse sistema de várias maneiras, mas uma maneira simples é isolar E em termos de vartheta a partir da primeira equação e substituir na segunda:
Da Equação 1:
E = 200 - 300vartheta538 times 10^-6
Substituímos esse valor de E na Equação 2:
1152 times 10^-6 times ( 200 - 300vartheta538 times 10^-6 ) = 300 - 200vartheta
Simplificando:
1152538 (200 - 300vartheta) = 300 - 200vartheta
Resolvendo essa equação para vartheta:
1152538 times 200 - 1152538 times 300vartheta = 300 - 200vartheta
Calculando os coeficientes:
427.18 - 641.77vartheta = 300 - 200vartheta
Levantando os termos com vartheta para um lado e os números para o outro:
427.18 - 300 = 641.77vartheta - 200vartheta
127.18 = 441.77vartheta
vartheta = 127.18441.77 approx 0.287

Passo 5

Agora que temos vartheta approx 0.287, vamos substituir esse valor de volta na Equação 1 para encontrar E:
E = 200 - 300 times 0.287538 times 10^-6 = 200 - 86.1538 times 10^-6 = 113.9538 times 10^-6 approx 211.63 GPa

Resposta

O Módulo de Young E é aproximadamente 211,63 GPa e o Coeficiente de Poisson vartheta é aproximadamente 0,287.

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