Um cabo de aço está suspenso entre dois postes de mesma altura. O cabo segue a forma de uma curva, que pode ser dada como gráfico de uma função
no plano cartesiano. Isso é,
representa a distância ao longo do cabo (em metros) e y a altura do cabo (em metros). Determine o comprimento total do cabo de aço entre os dois postes, sabendo que os postes estão 4 metros de distância um do outro.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cabo de aço suspenso entre dois postes, formando uma curva descrita pela função
. O eixo
representa a distância ao longo do cabo (em metros) e o eixo
a altura do cabo (em metros). Precisamos encontrar o comprimento total desse cabo sabendo que os postes estão 4 metros de distância um do outro. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de comprimento de arco de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função dada:
Essa é uma função quadrática que representa a forma da curva do cabo.
Passo 3
Para encontrar o comprimento do cabo, usamos a fórmula do comprimento de arco de uma função
entre
e
:
Nesse caso,
e
metros.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, elevamos essa derivada ao quadrado:
Passo 5
Substituímos na fórmula do comprimento de arco:
Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado dentro da raiz.
Passo 6
Completemos o quadrado para a expressão
:
Assim, a integral fica:
Passo 7
Fazemos a substituição
, então
. Os limites de integração mudam para
quando
e
quando
. A integral agora é:
Essa é uma integral padrão que pode ser resolvida usando fórmulas de integração para funções envolvendo
.
Passo 8
Aplicando a fórmula de integração:
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Passo 9
Simplificando os termos:
Calculando numericamente:
Então:
Resposta
O comprimento total do cabo de aço entre os dois postes é aproximadamente 9,29 metros.
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e
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.