Um cabo de aço está suspenso entre dois postes de mesma altura. O cabo segue a forma de uma curva, que pode ser dada como gráfico de uma função f(x) = x(x - 4) + 2 no plano cartesiano. Isso é, x representa a distância ao longo do cabo (em metros) e y a altura do cabo (em metros). Determine o comprimento total do cabo de aço entre os dois postes, sabendo que os postes estão 4 metros de distância um do outro.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cabo de aço suspenso entre dois postes, formando uma curva descrita pela função . O eixo representa a distância ao longo do cabo (em metros) e o eixo a altura do cabo (em metros). Precisamos encontrar o comprimento total desse cabo sabendo que os postes estão 4 metros de distância um do outro. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de comprimento de arco de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função dada:
Essa é uma função quadrática que representa a forma da curva do cabo.

Passo 3

Para encontrar o comprimento do cabo, usamos a fórmula do comprimento de arco de uma função entre e :
Nesse caso, e metros.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de :
Agora, elevamos essa derivada ao quadrado:

Passo 5

Substituímos na fórmula do comprimento de arco:
Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado dentro da raiz.

Passo 6

Completemos o quadrado para a expressão :
Assim, a integral fica:

Passo 7

Fazemos a substituição , então . Os limites de integração mudam para quando e quando . A integral agora é:
Essa é uma integral padrão que pode ser resolvida usando fórmulas de integração para funções envolvendo .

Passo 8

Aplicando a fórmula de integração:
Agora, avaliamos essa expressão de a :

Passo 9

Simplificando os termos:
Calculando numericamente:
Então:

Resposta

O comprimento total do cabo de aço entre os dois postes é aproximadamente 9,29 metros.

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