Uma fábrica de um certo produto, após um período inicial da produção, tem uma regularidade de produção em horas bem padronizada e modelada pela seguinte equação: P(t) = t^2 - 5t + 50. Assim sendo, após esse início, qual a média de produção da Fabrica em 5 horas de funcionamento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício onde uma fábrica produz segundo a equação , que representa a produção em horas. A questão pede para descobrir a média de produção da fábrica ao longo de 5 horas de funcionamento. Para resolver isso, vamos usar o conceito de média de uma função em um intervalo, que envolve integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a média de uma função no intervalo de a é calculada pela fórmula:
é
Aqui, horas (início do período) e horas.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula da média:
é

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 5, não precisamos considerar a constante .

Passo 5

Vamos avaliar a integral de 0 a 5:
Simplificando:

Passo 6

Vamos calcular cada termo separadamente:
Agora, somamos:

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da média:
é

Resposta

A média de produção da fábrica em 5 horas de funcionamento é aproximadamente 45,83 unidades.

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