Uma fábrica de um certo produto, após um período inicial da produção, tem uma regularidade de produção em horas bem padronizada e modelada pela seguinte equação:
. Assim sendo, após esse início, qual a média de produção da Fabrica em 5 horas de funcionamento?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício onde uma fábrica produz segundo a equação
, que representa a produção em horas. A questão pede para descobrir a média de produção da fábrica ao longo de 5 horas de funcionamento. Para resolver isso, vamos usar o conceito de média de uma função em um intervalo, que envolve integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a média de uma função
no intervalo de
a
é calculada pela fórmula:
Aqui,
horas (início do período) e
horas.
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula da média:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 5, não precisamos considerar a constante
.
Passo 5
Vamos avaliar a integral de 0 a 5:
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular cada termo separadamente:
Agora, somamos:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a fórmula da média:
Resposta
A média de produção da fábrica em 5 horas de funcionamento é aproximadamente 45,83 unidades.
Exercícios relacionados
Um cabo de aço está suspenso entre dois postes de mesma altura. O cabo segue a forma de uma curva, que pode ser dada como gráfico de uma função
no plano cartesiano. Isso é,
representa a distância ao longo do cabo (em metros) e y a altura do cabo (em metros). Determine o comprimento total do cabo de aço entre os dois postes, sabendo que os postes estão 4 metros de distância um do outro.
Calcule as integrais impróprias das seguintes funções, concluindo se elas são convergentes ou divergentes:
Encontre e esboce a região R inteiramente delimitada pelas curvas
e
. Feito isso, determine a área da região
.
Consideremos os sólidos
e
como sendo os sólidos gerados pela rotação da região inteiramente delimitada pelas curvas
e
, em torno do eixo
e eixo
, respectivamente. Encontre a região delimitada entre as curvas que geram os sólidos, e a posteriori, encontre o volume dos sólidos
e
.