Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com
de papelão. Determine o volume máximo de tal caixa.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma caixa retangular sem tampa feita com 12 metros quadrados de papelão. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o volume máximo que essa caixa pode ter. Vamos usar conceitos de otimização da matemática, especialmente envolvendo funções e derivadas para encontrar esse valor máximo.
Passo 2
Vamos começar definindo as dimensões da caixa. Vamos chamar:
-
= comprimento da caixa -
= largura da caixa -
= altura da caixa
Como a caixa é retangular e sem tampa, precisamos relacionar essas medidas com a área do papelão disponível.
Passo 3
A área total de papelão usada para a caixa sem tampa é composta pela base e pelas quatro laterais. A fórmula para a área total é:
Simplificando, temos:
Passo 4
Já o volume da caixa é dado pela multiplicação das três dimensões:
Nosso objetivo é maximizar esse volume sujeito à restrição da área total de 12 m².
Passo 5
Para facilitar, vamos assumir que a base da caixa seja quadrada, ou seja,
. Isso simplifica nossos cálculos e geralmente leva ao volume máximo.
Com
, a área fica:
Passo 6
Vamos isolar
nessa equação:
Passo 7
Agora, substituímos
na fórmula do volume:
Passo 8
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, calculamos a derivada da função Volume em relação a
e a igualamos a zero:
Passo 9
Com
, encontramos
:
Resposta
O volume máximo da caixa é de
.