Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com de papelão. Determine o volume máximo de tal caixa.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma caixa retangular sem tampa feita com 12 metros quadrados de papelão. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o volume máximo que essa caixa pode ter. Vamos usar conceitos de otimização da matemática, especialmente envolvendo funções e derivadas para encontrar esse valor máximo.

Passo 2

Vamos começar definindo as dimensões da caixa. Vamos chamar:
  • = comprimento da caixa
  • = largura da caixa
  • = altura da caixa
Como a caixa é retangular e sem tampa, precisamos relacionar essas medidas com a área do papelão disponível.

Passo 3

A área total de papelão usada para a caixa sem tampa é composta pela base e pelas quatro laterais. A fórmula para a área total é:
Á
Simplificando, temos:

Passo 4

Já o volume da caixa é dado pela multiplicação das três dimensões:
Nosso objetivo é maximizar esse volume sujeito à restrição da área total de 12 m².

Passo 5

Para facilitar, vamos assumir que a base da caixa seja quadrada, ou seja, . Isso simplifica nossos cálculos e geralmente leva ao volume máximo.
Com , a área fica:

Passo 6

Vamos isolar nessa equação:

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula do volume:

Passo 8

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, calculamos a derivada da função Volume em relação a e a igualamos a zero:

Passo 9

Com , encontramos :

Resposta

O volume máximo da caixa é de .

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