Encontre e esboce a região R inteiramente delimitada pelas curvas
e
. Feito isso, determine a área da região
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e desenhar a região R que é totalmente delimitada pelas curvas
e
. Depois, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de matemática como interseção de curvas e integral definida para determinar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso acontece quando
é igual a
. Então, igualamos as duas equações:
Para resolver essa equação, vamos rearranjá-la:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, os pontos de interseção são:
Passo 4
Com os valores de
encontrados, podemos determinar os valores correspondentes de
usando a equação
:
Portanto, os pontos de interseção são:
Passo 5
Agora que temos os pontos de interseção, vamos entender como as curvas se posicionam umas em relação às outras. A parábola
abre para cima e o gráfico da reta
é uma linha reta com inclinação positiva. A região R é o espaço onde a reta está acima da parábola entre os pontos de interseção.
Passo 6
Para encontrar a área da região R, vamos calcular a integral da diferença entre as funções que estão no topo e embaixo no intervalo definido pelos pontos de interseção.
A função que está no topo é
e a que está embaixo é
. Então, a área
é dada por:
Onde
e
.
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites de integração:
Resposta
Após calcular, a área da região
é aproximadamente 19,08 unidades quadradas.
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Consideremos os sólidos
e
como sendo os sólidos gerados pela rotação da região inteiramente delimitada pelas curvas
e
, em torno do eixo
e eixo
, respectivamente. Encontre a região delimitada entre as curvas que geram os sólidos, e a posteriori, encontre o volume dos sólidos
e
.
Calcule as seguintes integrais definidas, deixando claro a resolução das mesmas: