Encontre e esboce a região R inteiramente delimitada pelas curvas e . Feito isso, determine a área da região .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e desenhar a região R que é totalmente delimitada pelas curvas e . Depois, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de matemática como interseção de curvas e integral definida para determinar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso acontece quando é igual a . Então, igualamos as duas equações:
Para resolver essa equação, vamos rearranjá-la:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Então, os pontos de interseção são:

Passo 4

Com os valores de encontrados, podemos determinar os valores correspondentes de usando a equação :
Portanto, os pontos de interseção são:

Passo 5

Agora que temos os pontos de interseção, vamos entender como as curvas se posicionam umas em relação às outras. A parábola abre para cima e o gráfico da reta é uma linha reta com inclinação positiva. A região R é o espaço onde a reta está acima da parábola entre os pontos de interseção.

Passo 6

Para encontrar a área da região R, vamos calcular a integral da diferença entre as funções que estão no topo e embaixo no intervalo definido pelos pontos de interseção.
A função que está no topo é e a que está embaixo é . Então, a área é dada por:
Onde e .

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites de integração:

Resposta

Após calcular, a área da região é aproximadamente 19,08 unidades quadradas.

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